Solve: d y d x + x 2 - 1 y 2 - 1 x y = 0

d y d x = - x 2 - 1 x y 2 - 1 y ⇒ y y 2 - 1 d y = - x 2 - 1 x d x Integrating both sides, we get ⇒ ∫ y y 2 - 1 d y = - ∫ x 2 - 1 x d x Put y 2 - 1 = t ⇒ 2 y d y = d t and x = sec θ ⇒ d x = sec θ tan θ d θ ⇒ 1 2 ∫ 1 t d t = - ∫ sec 2 θ - 1 sec θ sec θ tan θ d θ ⇒ 1 2 t 1 2 1 2 = - ∫ tan θ s e c θ sec θ tan θ d θ + C ⇒ t 1 2 = - ∫ tan 2 θ d θ + C ⇒ y 2 - 1 = - ∫ sec 2 θ - 1 d θ + C ⇒ y 2 - 1 = - tan θ + θ + C ⇒ y 2 - 1 = - sec 2 θ - 1 + sec - 1 x + C ⇒ y 2 - 1 = - x 2 - 1 + sec - 1 x + C ⇒ x 2 - 1 + y 2 - 1 = sec - 1 x + C

Solve the differential equation cos 2 x d 2 y d x 2 = 1 .

cos 2 x d 2 y d x 2 = 1 ⇒ d d x d y d x = s e c 2 x integrating w.r.t. x , we get ∫ d d x d y d x . d x = ∫ s e c 2 x d x ⇒ d y d x = tan x + C 1 ⇒ ∫ d y d x . d x = ∫ tan x d x + ∫ C 1 d x ⇒ y = log sec x + C 1 x + C 2

Solve : tan - 1 d y d x = x + y

tan - 1 d y d x = x + y d y d x = tan x + y … i Let x + y = t ⇒ 1 + d y d x = d t d x … ii Using ( i ) and ( ii ) , we have d t d x - 1 = tan t ∫ 1 1 + tan t d t = ∫ d x ⇒ ∫ cos t d t cos t + sin t = x + C ⇒ 1 2 ∫ 2 cos t d t cos t + sin t = x + C ⇒ 1 2 ∫ cos t + sin t + cos t - sin t cos t + sin t d t = x + C ⇒ 1 2 ∫ 1 + cos t - sin t cos t + sin t d t = x + C ⇒ 1 2 t + log cos t + sin t = x + C ⇒ x + y + log cos x + y + sin x + y = 2 x + 2 C ⇒ y + log cos x + y + sin x + y = 2 x + k ( k = 2 C )

Solve: x + y - a x + y - b d y d x = x + y + a x + y + b

x + y - a x + y - b d y d x = x + y + a x + y + b . . . i Put x + y = t 1 + d y d x = d t d x . . . ii From ( i ) and ( ii ) , we get, t - a t - b d t d x - 1 = t + a t + b d t d x - 1 = ( t + a ) ( t - b ) ( t + b ) ( t - a ) d t d x = t 2 - b t + a t - a b t 2 - a t + b t - a b + 1 = t 2 - b t + a t - a b + t 2 - a t + b t - a b t 2 - a t + b t - a b d t d x = 2 ( t 2 - a b ) ( t 2 - a b ) - t ( a - b ) ∫ ( t 2 - a b ) - t ( a - b ) ( t 2 - a b ) · d t = ∫ 2 d x t - a - b ∫ t d t t 2 - a b = 2 x + C . . . iii Put t 2 - a b = u ⇒ 2 t d t = d u t - ( a - b ) · 1 2 ∫ d u u = 2 x + C t - a - b 2 log u = 2 x + C ⇒ x + y - a - b 2 log t 2 - a b = 2 x + C ⇒ x + y - a - b 2 log { x + y 2 - a b } = 2 x + C ⇒ 2 x + 2 y + b - a log { x + y 2 - a b } = 4 x + 2 C ⇒ ( b - a ) log { ( x + y ) 2 - a b } = 2 ( x - y + C )

Solve the following differential equations: x d y - y d x - x 2 + y 2 d x = 0

x d y - y d x - x 2 + y 2 d x = 0 x d y = y + x 2 + y 2 d x ⇒ d y d x = y x + 1 + y x 2 . . . i (Homogeneous differential equation) Put y x = t , ⇒ d y d x = t + x d t d x . . ii From ( i ) and ( ii ) , we get t + x d t d x = t + 1 + t 2 ∫ d t 1 + t 2 = ∫ d x x (variable separable form) log | t + 1 + t 2 | = log x + log C t + 1 + t 2 = C x y x + 1 + y 2 x 2 = C x y + x 2 + y 2 = C x 2