Prove that sin 20 ° sin 40 ° sin 60 ° sin 80 ° = 3 16 .

To prove that sin 20 ° sin 40 ° sin 60 ° sin 80 ° = 3 16 . Now, sin 20 ° sin 40 ° sin 60 ° sin 80 ° = 3 2 sin 20 ° sin 40 ° sin 80 ° ∵ sin 60 ° = 3 2 = 3 2 × 1 2 2 sin 80 ° sin 20 ° sin 40 ° = 3 4 cos 80 ° - 20 ° - cos 80 ° + 20 ° sin 40 ° ∵ 2 sin A sin B = cos ( A - B ) - cos ( A + B ) = 3 4 cos 60 ° sin 40 ° - cos 100 ° sin 40 ° = 3 4 1 2 sin 40 ° - 1 2 2 cos 100 ° sin 40 ° ∵ cos 60 ° = 1 2 = 3 8 sin 40 ° - 3 8 sin 100 ° + 40 ° - sin 100 ° - 40 ° ∵ 2 cos A sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B ) = 3 8 sin 40 ° - 3 8 sin 140 ° + 3 8 sin 60 ° = 3 8 sin 40 ° - 3 8 sin 40 ° + 3 8 sin 60 ° ∵ sin ( 180 ° - θ ) = sin θ = 3 8 sin 60 ° = 3 8 × 3 2 = 3 16 Hence, proved.

Prove that tan θ tan 60 ° - θ · tan 60 ° + θ = tan 3 θ

Given, L . H . S . = tan θ tan 60 ° - θ tan 60 ° + θ = tan θ . tan 60 ° - tan θ 1 + tan 60 ° tan θ tan 60 ° + tan θ 1 - tan 60 ° tan θ = tan θ 3 - tan θ 1 + 3 tan θ 3 + tan θ 1 - 3 tan θ = tan θ 3 2 - tan 2 θ 1 - 3 tan θ 2 = tan θ 3 - tan 2 θ 1 - 3 tan 2 θ = 3 tan θ - tan 3 θ 1 - 3 tan 2 θ = tan 3 θ = R . H . S .

If cos α = 1 2 , sin β = 1 3 , show that tan α + β 2 cot α - β 2 = 5 + 2 6 or 5 - 2 6

Given that cos α = 1 2 , sin β = 1 3 Use sin 2 x + cos 2 x = 1 , we get sin α = 1 - 1 2 2 = 1 2 Now, tan α + β 2 cot α - β 2 = sin α + β 2 cos α + β 2 × cos α - β 2 sin α - β 2 ⇒ tan α + β 2 cot α - β 2 = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 2 cos α + β 2 sin α - β 2 Use sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A - B 2 and sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2 , we get tan α + β 2 cot α - β 2 = sin α + sin β sin α - sin β ⇒ tan α + β 2 cot α - β 2 = 1 2 + 1 3 1 2 - 1 3 ⇒ tan α + β 2 cot α - β 2 = 3 + 2 3 - 2 × 3 + 2 3 + 2 ⇒ tan α + β 2 cot α - β 2 = 3 + 2 + 2 6 3 - 2 ⇒ tan α + β 2 cot α - β 2 = 5 + 2 6 Hence, tan α + β 2 cot α - β 2 = 5 + 2 6 or 5 - 2 6

Prove that cos 10 ° - sin 10 ° cos 10 ° + sin 10 ° = tan 35 °

We need to prove cos 10 ° - sin 10 ° cos 10 ° + sin 10 ° = tan 35 ° Consider L . H . S . = cos 10 ° - sin 10 ° cos 10 ° + sin 10 ° Divide the numerator and denominator by cos 10 ° , we get L . H . S . = cos 10 ° cos 10 ° - sin 10 ° cos 10 ° cos 10 ° cos 10 ° + sin 10 ° cos 10 ° ⇒ L . H . S . = 1 - tan 10 ° 1 + tan 10 ° ∵ sin x cos x = tan x ⇒ L . H . S . = tan 45 ° - tan 10 ° 1 + tan 45 ° · tan 10 ° ∵ tan 45 ° = 1 ⇒ L . H . S . = tan 45 ° - 10 ° ∵ tan x - y = tan x - tan y 1 + tan x · tan y ⇒ L . H . S . = tan 35 ° = R . H . S . Hence, cos 10 ° - sin 10 ° cos 10 ° + sin 10 ° = tan 35 °

Prove that sin θ + sin 3 θ + sin 5 θ + sin 7 θ cos θ + cos 3 θ + cos 5 θ + cos 7 θ = tan 4 θ .

To prove, sin θ + sin 3 θ + sin 5 θ + sin 7 θ cos θ + cos 3 θ + cos 5 θ + cos 7 θ = tan 4 θ LHS = sin θ + sin 3 θ + sin 5 θ + sin 7 θ cos θ + cos 3 θ + cos 5 θ + cos 7 θ = ( sin 7 θ + sin θ ) + ( sin 5 θ + sin 3 θ ) ( cos 7 θ + cos θ ) + ( cos 5 θ + cos 3 θ ) = ( 2 sin 4 θ cos 3 θ ) + ( 2 sin 4 θ cos θ ) ( 2 cos 4 θ cos 3 θ ) + ( 2 cos 4 θ cos θ ) ∵ sin C + sin D = 2 sin C + D 2 cos C - D 2 & cos C + cos D = 2 cos C + D 2 cos C - D 2 = 2 sin 4 θ ( cos 3 θ + cos θ ) 2 cos 4 θ ( cos 3 θ + cos θ ) = sin 4 θ cos 4 θ = tan 4 θ = RHS Hence, proved.

If cos A - B cos A + B + cos C + D cos C - D = 0 , prove that tan A tan B tan C tan D = - 1

Given that cos A - B cos A + B + cos C + D cos C - D = 0 ⇒ cos A cos B + sin A sin B cos A cos B - sin A s i n B + cos C cos D - sin C s i n D cos C cos D + sin C s i n D = 0 ⇒ cos A cos B 1 + tan A tan B cos A cos B 1 - tan A tan B + cos C cos D 1 - tan C tan D cos C cos D 1 + tan C tan D = 0 ∵ sin x cos x = tan x ⇒ 1 + tan A tan B 1 + tan C tan D + 1 - tan C tan D 1 - tan A tan B 1 - tan A tan B 1 + tan C tan D = 0 ⇒ 1 + tan A tan B 1 + tan C tan D + 1 - tan C tan D 1 - tan A tan B = 0 ⇒ 1 + tan C tan D + tan A tan B + tan A tan B tan C tan D + 1 - tan A tan B - tan C tan D + tan A tan B tan C tan D = 0 ⇒ 2 tan A tan B tan C tan D = - 2 ⇒ tan A tan B tan C tan D = - 1 Hence, proved.

E M B I B E

TRIGONOMETRY FOR JEE MAIN AND ADVANCED>Chapter 3 - Trigonometric Functions (Sum and Difference of Angles and Transformation Formulae)>EXERCISE 3.2

K. C. Sinha Solutions for Chapter: Trigonometric Functions (Sum and Difference of Angles and Transformation Formulae), Exercise 2: EXERCISE 3.2

Author: K. C. Sinha

K. C. Sinha Mathematics Solutions for Exercise - K. C. Sinha Solutions for Chapter: Trigonometric Functions (Sum and Difference of Angles and Transformation Formulae), Exercise 2: EXERCISE 3.2

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