Assam Board Solutions for Chapter: Areas of Parallelograms and Triangles, Exercise 3: EXERCISE

$\mathrm{D}, \mathrm{E}$ and $\mathrm{F}$ are respectively the mid-points of the sides $\mathrm{B}\mathrm{C}, \mathrm{C}\mathrm{A}$ and $\mathrm{A}\mathrm{B}$ of a $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$. Show that

$\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\right)=\frac{1}{4}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$

$\mathrm{D}, \mathrm{E}$ and $\mathrm{F}$ are respectively the mid-points of the sides $\mathrm{B}\mathrm{C}, \mathrm{C}\mathrm{A}$ and $\mathrm{A}\mathrm{B}$ of a $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$. Show that

$\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$

In the given figure, diagonals $\mathrm{A}\mathrm{C}$ and $\mathrm{B}\mathrm{D}$ of quadrilateral $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ intersect at $\mathrm{O}$ such that $\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{D}.$ If $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\mathrm{D},$ then show that

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{B}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}\right)$

In the given figure, diagonals $\mathrm{A}\mathrm{C}$ and $\mathrm{B}\mathrm{D}$ of quadrilateral $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ intersect at $\mathrm{O}$ such that $\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{D}.$ If $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\mathrm{D},$ then show that 

$\mathrm{D}\mathrm{A}\parallel \mathrm{C}\mathrm{B}$ or $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is a parallelogram.

In the given figure, $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}$ is a pentagon. A line through $\mathrm{B}$ parallel to $\mathrm{A}\mathrm{C}$ meets $\mathrm{D}\mathrm{C}$ produced at $\mathrm{F}.$ Show that
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{F}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\right)$.

In the given figure, $\mathrm{A}\mathrm{P}\parallel \mathrm{B}\mathrm{Q}\parallel \mathrm{C}\mathrm{R}.$ Prove that $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{C}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{R}\right).$

Diagonals $\mathrm{A}\mathrm{C}$ and $\mathrm{B}\mathrm{D}$ of a quadrilateral $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ intersect at $\mathrm{O}$ in such a way that $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{D}\right)=\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{B}\mathrm{O}\mathrm{C}\right).$ Prove that $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is a trapezium.

In the given figure, $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{D}\mathrm{R}\mathrm{C}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{C}\right)$ and $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{P}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{C}\right).$ Show that both the quadrilaterals $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ and $\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{R}$ are trapeziums.