Find d y d x ,when sin 2 x + cos 2 y = 1 .

The given function is, sin 2 x + cos 2 y = 1 On differentiating both sides with respect to x , we get d d x sin 2 x + cos 2 y = d d x 1 d d x sin 2 x + d d x cos 2 y = 0 [Using addition rule] 2 sin x d d x sin x + 2 cos y d d x cos y = 0 [ Using chain rule ] 2 sin x cos x + 2 cos y - sin y d y d x = 0 ∵ d d x sin x = cos x ; d d x cos x = - sin x 2 sin x cos x - 2 cos y sin y d y d x = 0 - 2 cos y sin y d y d x = - 2 sin x cos x d y d x = - 2 sin x cos x - 2 cos y sin y d y d x = sin 2 x sin 2 y . ∴ sin 2 x = 2 sin x cos x

Find d y d x , when x y + y 2 = tan x + y .

The given function is, x y + y 2 = tan x + y On differentiating both sides with respect to x , we get d d x x y + y 2 = d d x tan x + y d d x x y + d y d x y 2 = d d x tan x + d d x y [Using addition rule] x d d x y + y d d x x + 2 y · d y d x = sec 2 x + d y d x [ Use product rule; d d x tan x = sec 2 x ; d d x x n = n x n - 1 ] x d y d x + y · 1 + 2 y · d y d x = sec 2 x + d y d x x d y d x + 2 y · d y d x - sec 2 x + d y d x = - y d y d x x + 2 y - 1 = sec 2 x - y d y d x = sec 2 x - y x + 2 y - 1 .

Find d y d x , when y = tan x + y .

The given function is, y = tan x + y On differentiating both sides with respect to x , we get d d x y = d d x tan x + y d y d x = sec 2 x + y · d d x x + y [Using chain rule & also d d x tan x = sec 2 x ] d y d x = sec 2 x + y d d x x + d d x y [Using addition rule] d y d x = sec 2 x + y 1 + d y d x ∵ d d x x n = n x n - 1 d y d x = sec 2 x + y + sec 2 x + y d y d x 1 - sec 2 x + y d y d x = sec 2 x + y d y d x = sec 2 x + y 1 - sec 2 x + y d y d x = sec 2 x + y tan 2 x + y ∵ 1 - sec 2 θ = tan 2 θ

Find d y d x , when sin x y + x y = x 2 - y .

The given function is, sin x y + x y = x 2 - y . . . . . . 1 Differentiating both sides of equation 1 with respect to x , we get d d x sin x y + d d x x y = d d x x 2 - y cos x y · d d x x y + y d d x x - x d d x y y 2 = d d x x 2 - d d x y [Using quotient rule & subtraction rule] cos x y x d d x y + y d d x x + y · 1 - x d y d x y 2 = 2 x - d y d x [Using product rule] cos x y x d y d x + y · 1 + 1 y 2 y - x d y d x = 2 x - d y d x ∵ d d x sin x = cos x ; d d x x n = n x n - 1 cos x y x d y d x + y + 1 y 2 y - x d y d x = 2 x - d y d x x y 2 cos x y d y d x + y 3 cos x y + y - x d y d x = 2 x y 2 - y 2 d y d x [Multiply both sides by y 2 ] x y 2 cos x y - x + y 2 d y d x = 2 x y 2 - y - y 3 cos x y [Taking common d y d x ] d y d x = 2 x y 2 - y - y 3 cos x y x y 2 cos x y - x + y 2 .

Find d y d x , when sec x + y = x y .

The given function is, sec x + y = x y On differentiating both sides with respect to x , we get d d x sec x + y = d d x x y sec x + y tan x + y d d x x + y = x d d x y + y d d x x [Using chain rule & product rule] sec x + y tan x + y d d x x + d d x y = x d y d x + y · 1 [Using addition rule] sec x + y tan x + y 1 + d y d x = x d y d x + y ∵ d d x sec x = sec x tan x ; d d x x n = n x n - 1 ⇒ sec x + y tan x + y - x d y d x = y - sec x + y tan x + y d y d x = y - sec x + y tan x + y sec x + y tan x + y - x

If sec x + y x - y = a , prove that d y d x = y x .

The given function is, sec x + y x - y = a ⇒ x + y x - y = sec - 1 a = K (say) Applying componendo and dividendo, we have x + y + x - y x + y - x + y = K + 1 K - 1 ⇒ 2 x 2 y = K + 1 K - 1 ⇒ y x = K - 1 K + 1 On differentiating both sides with respect to x , we get d d x y x = d d x K - 1 K + 1 x d d x y - y d d x x x 2 = 0 [Using quotient rule] x d y d x - y · 1 x 2 = 0 ∵ d d x x n = n x n - 1 x d y d x = y d y d x = y x Hence proved.

If sin x = y sin x + a , prove that d y d x = sin a sin 2 x + a .

The given function is, sin x = y sin x + a ⇒ sin x sin x + a = y ⇒ y = sin x sin x + a On differentiating both sides with respect to x , we get d d x y = d d x sin x sin x + a d y d x = sin x + a d d x sin x - sin x d d x sin x + a sin x + a 2 [ Using quotient rule ] d y d x = sin x + a · cos x - sin x · cos x + a d d x x + a sin 2 x + a [ Use chain rule ] d y d x = sin x + a · cos x - sin x · cos x + a · 1 sin 2 x + a ∵ d d x sin x = cos x ; d d x x n = n x n - 1 d y d x = sin x + a cos x - sin x cos x + a sin 2 x + a d y d x = sin x + a - x sin 2 x + a ∵ sin A - B = sin A cos B - cos A sin B d y d x = sin a sin 2 x + a .

If sin y = x sin a + y , prove that d y d x = sin 2 a + y sin a .

The given function is, sin y = x sin a + y ⇒ sin y sin a + y = x ⇒ x = sin y sin a + y . . . . . 1 On differentiating both sides of equation 1 with respect to y , Taking x as a function of y ; we get d d y x = d d y sin y sin a + y d x d y = sin a + y d d y sin y - sin y d d y sin a + y sin a + y 2 [ Using quotient rule ] d x d y = sin a + y · cos y - sin y · cos a + y d d y a + y sin 2 a + y [ Use chain rule ] d x d y = sin a + y · cos y - sin y · cos a + y · 1 sin 2 a + y ∵ d d x sin x = cos x ; d d x x n = n x n - 1 d x d y = sin a + y cos y - sin y cos a + y sin 2 a + y d x d y = sin a + y - y sin 2 a + y ∵ sin A - B = sin A cos B - cos A sin B ∴ d x d y = sin a sin 2 a + y ∴ d y d x = 1 d x d y = sin 2 a + y sin a Hence proved.

E M B I B E

Understanding ISC Mathematics Class 12 Volume 1>Chapter 5 - Continuity and Differentiability>EXERCISE 5.8

M L Aggarwal Solutions for Chapter: Continuity and Differentiability, Exercise 8: EXERCISE 5.8

Author:M L Aggarwal

M L Aggarwal Mathematics Solutions for Exercise - M L Aggarwal Solutions for Chapter: Continuity and Differentiability, Exercise 8: EXERCISE 5.8

Attempt the practice questions on Chapter 5: Continuity and Differentiability, Exercise 8: EXERCISE 5.8 with hints and solutions to strengthen your understanding. Understanding ISC Mathematics Class 12 Volume 1 solutions are prepared by Experienced Embibe Experts.