Prove that tan - 1 1 2 + tan - 1 2 11 = tan - 1 3 4 .

To prove tan - 1 1 2 + tan - 1 2 11 = tan - 1 3 4 Taking L . H . S . = tan - 1 1 2 + tan - 1 2 11 = tan - 1 1 2 + 2 11 1 - 1 2 × 2 11 ∵ tan - 1 x + tan - 1 y = tan - 1 x + y 1 - x y = tan - 1 11 + 4 22 1 - 1 11 = tan - 1 15 22 10 11 = tan - 1 3 4 = R . H . S . Hence, proved.

If A = sin - 1 2 x 1 + x 2 , B = cos - 1 1 - x 2 1 + x 2 and C = tan - 1 2 x 1 - x 2 satisfies the condition 3 A - 4 B + 2 C = π 3 . Find the value of x .

Given A = sin - 1 2 x 1 + x 2 , B = cos - 1 1 - x 2 1 + x 2 and C = tan - 1 2 x 1 - x 2 Given that they satisfy the condition 3 A - 4 B + 2 C = π 3 ⇒ 3 sin - 1 2 x 1 + x 2 - 4 cos - 1 1 - x 2 1 + x 2 + 2 tan - 1 2 x 1 - x 2 = π 3 Put x = tan y ⇒ 3 sin - 1 2 tan y 1 + tan 2 y - 4 cos - 1 1 - tan 2 y 1 + tan 2 y + 2 tan - 1 2 tan y 1 - tan 2 y = π 3 ⇒ 3 sin - 1 sin 2 y - 4 cos - 1 cos 2 y + 2 tan - 1 tan 2 y = π 3 ⇒ 3 2 y - 4 2 y + 2 2 y = π 3 ⇒ 6 y - 8 y + 4 y = π 3 ⇒ 2 y = π 3 ⇒ y = π 6 ⇒ tan - 1 x = π 6 ⇒ x = tan π 6 = 1 3 .

Solve tan - 1 2 x + tan - 1 3 x = π 4 .

Given that, tan - 1 2 x + tan - 1 3 x = π 4 ⇒ tan - 1 2 x + 3 x 1 - 2 x · 3 x = π 4 ⇒ 5 x 1 - 6 x 2 = tan π 4 ⇒ 5 x 1 - 6 x 2 = 1 ⇒ 5 x = 1 - 6 x 2 ⇒ 6 x 2 + 5 x - 1 = 0 ⇒ 6 x 2 + 6 x - x - 1 = 0 ⇒ 6 x ( x + 1 ) - 1 ( x + 1 ) = 0 ⇒ ( x + 1 ) ( 6 x - 1 ) = 0 ⇒ x + 1 = 0 and 6 x - 1 = 0 ⇒ x = - 1 and x = 1 6 But x = 1 6 satisfies the given equation ∴ x = 1 6

Solve tan - 1 2 x + tan - 1 3 x = π 4 .

Given that, tan - 1 2 x + tan - 1 3 x = π 4 ⇒ tan - 1 2 x + 3 x 1 - 2 x · 3 x = π 4 ⇒ 5 x 1 - 6 x 2 = tan π 4 ⇒ 5 x 1 - 6 x 2 = 1 ⇒ 5 x = 1 - 6 x 2 ⇒ 6 x 2 + 5 x - 1 = 0 ⇒ 6 x 2 + 6 x - x - 1 = 0 ⇒ 6 x ( x + 1 ) - 1 ( x + 1 ) = 0 ⇒ ( x + 1 ) ( 6 x - 1 ) = 0 ⇒ x + 1 = 0 and 6 x - 1 = 0 ⇒ x = - 1 and x = 1 6 But x = 1 6 satisfies the given equation ∴ x = 1 6

If A = sin - 1 2 x 1 + x 2 , B = cos - 1 1 - x 2 1 + x 2 and C = tan - 1 2 x 1 - x 2 satisfies the condition 3 A - 4 B + 2 C = π 3 . Find the value of x .

Given A = sin - 1 2 x 1 + x 2 , B = cos - 1 1 - x 2 1 + x 2 and C = tan - 1 2 x 1 - x 2 Given that they satisfy the condition 3 A - 4 B + 2 C = π 3 ⇒ 3 sin - 1 2 x 1 + x 2 - 4 cos - 1 1 - x 2 1 + x 2 + 2 tan - 1 2 x 1 - x 2 = π 3 Put x = tan y ⇒ 3 sin - 1 2 tan y 1 + tan 2 y - 4 cos - 1 1 - tan 2 y 1 + tan 2 y + 2 tan - 1 2 tan y 1 - tan 2 y = π 3 ⇒ 3 sin - 1 sin 2 y - 4 cos - 1 cos 2 y + 2 tan - 1 tan 2 y = π 3 ⇒ 3 2 y - 4 2 y + 2 2 y = π 3 ⇒ 6 y - 8 y + 4 y = π 3 ⇒ 2 y = π 3 ⇒ y = π 6 ⇒ tan - 1 x = π 6 ⇒ x = tan π 6 = 1 3 .

Prove that tan - 1 1 2 + tan - 1 2 11 = tan - 1 3 4 .

To prove tan - 1 1 2 + tan - 1 2 11 = tan - 1 3 4 Taking L . H . S . = tan - 1 1 2 + tan - 1 2 11 = tan - 1 1 2 + 2 11 1 - 1 2 × 2 11 ∵ tan - 1 x + tan - 1 y = tan - 1 x + y 1 - x y = tan - 1 11 + 4 22 1 - 1 11 = tan - 1 15 22 10 11 = tan - 1 3 4 = R . H . S . Hence, proved.