Prove that sinA 1 + cosA = 1 - cosA sinA

We have, sinA 1 + cosA = sinA 1 + cosA × 1 - cosA 1 - cosA [multiply numerator and denominator by the conjugate of 1 + cosA ] = sinA ( 1 - cosA ) ( 1 + cosA ) ( 1 - cosA ) = sinA ( 1 - cosA ) 1 - cos 2 A = sinA ( 1 - cosA ) sin 2 A = 1 - cosA sinA . Hence, proved.

Prove that 1 + cot 2 θ 1 + cosec θ = cosec θ

We have, 1 + cot 2 θ 1 + cosec θ = 1 + cosec 2 θ - 1 cosec θ + 1 since cosec 2 θ - 1 = cot 2 θ = 1 + ( cosec θ + 1 ) ( cosec θ - 1 ) cosec θ + 1 = 1 + ( cosec θ - 1 ) = cosec θ . Hence, proved.

Prove that 1 + cosθ 1 - cosθ = cosec θ + cotθ

We have, 1 + cosθ 1 - cosθ = 1 + cosθ 1 - cosθ × 1 + cosθ 1 + cosθ [multiply numerator and denominator by the conjugate of 1 - cosθ ] = ( 1 + cosθ ) 2 1 - cos 2 θ = 1 + cosθ sin 2 θ since sin 2 θ + cos 2 θ = 1 = 1 + cosθ sinθ = cosec θ + cotθ . Hence, proved.

Prove that secθ sinθ - sinθ cosθ = cotθ

We have, secθ sinθ - sinθ cosθ = 1 cosθ sinθ - sinθ cosθ = 1 sinθcosθ - sinθ cosθ = 1 - sin 2 θ sinθcosθ = cos 2 θ sinθcosθ = cos θ sin θ = cotθ Hence, proved.

If cosθ + sinθ = 2 cosθ , then prove that cosθ - sinθ = 2 sinθ

Given, cos θ + sin θ = 2 cos θ ⇒ sin θ = 2 cos θ - cos θ ⇒ sin θ = cos θ 2 - 1 ⇒ sin θ 2 - 1 = cos θ ⇒ sin θ 2 - 1 × 2 + 1 2 + 1 = cos θ ⇒ 2 + 1 sin θ 2 2 - 1 2 = cos θ ⇒ 2 + 1 sin θ = cos θ ⇒ 2 sin θ + sin θ = cos θ ⇒ 2 sin θ + sin θ = cos θ ⇒ cos θ - sin θ = 2 sin θ Hence, proved.