If tan x = a b , show that a sin x - b cos x a sin x + b cos x = a 2 - b 2 a 2 + b 2 .

Given that, tan x = a b → 1 To prove: a sin x - b cos x a sin x + b cos x = a 2 - b 2 a 2 + b 2 From, LHS = asin x - b cos x asin x + b cos x = a sin x - b cos x cos x asin x + b cos x cos x ∵ x ≠ 2 n + 1 π 2 = a tan x - b a tan x + b = a a b - b a a b + b (From 1 ) = a 2 - b 2 b a 2 + b 2 b = a 2 - b 2 a 2 + b 2 = RHS Hence, proved.

Show that: 3 tan 170 0 - tan 140 0 = 1 + tan 170 0 tan 140 0 .

To prove: 3 tan 170 0 - tan 140 0 = 1 + tan 170 0 tan 140 0 ⇒ tan 170 0 - tan 140 0 1 + tan 170 0 tan 140 0 = 1 3 → 1 We know that, tan A - B = tan A - tan B 1 + tan A tan B . From 1 , we get LHS = tan ( 170 0 - 140 0 ) = tan 30 0 = 1 3 = RHS Hence, proved.

If tan y = Q sin x P + Q cos x , then prove that tan x - y = P sin x Q + P cos x .

Given that, tan y = Q sin x P + Q cos x → 1 To prove: tan x - y = P sin x Q + P cos x From 1 , we can write tan x - x - y = Q sin x P + Q cos x We know that, tan A - B = tan A - tan B 1 + tan A tan B . ⇒ tan x - tan ( x - y ) 1 + tan x tan ( x - y ) = Q sin x P + Q cos x ⇒ tan x - tan ( x - y ) ( P + Q cos x ) = Q sin x ( 1 + tan x tan ( x - y ) ) ⇒ P tan x + Q cos x tan x - tan ( x - y ) P - Q cos x tan ( x - y ) = Q sin x + Q sin x tan x tan ( x - y ) ⇒ P tan x + Q sin x - P tan x - y - Q cos x tan x - y = Q sin x + Q sin 2 x cos x tan x - y ⇒ P tan x = tan ( x - y ) [ P + Q cos x + Q tan x sin x ] ⇒ tan x - y = P tan x P + Q cos x + Q tan x sin x ⇒ tan x - y = P sin x cos x P + Q cos x + Q × sin x cos x × sin x ⇒ tan x - y = P sin x cos x P cos x + Q cos 2 x + Q sin 2 x cos x ⇒ tan x - y = P sin x cos x P cos x + Q cos 2 x + sin 2 x cos x ∴ tan x - y = P sin x Q + P cos x Hence, proved.

Prove that cos 2 x - 2 π 3 + cos 2 x + cos 2 x + 2 π 3 = 3 2 .

To prove: cos 2 x - 2 π 3 + cos 2 x + cos 2 x + 2 π 3 = 3 2 From, LHS = cos 2 x - 2 π 3 + cos 2 x + cos 2 x + 2 π 3 We know that, cos 2 x = 2 cos 2 x - 1 ⇒ cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 . = 1 + cos 2 x 2 + 1 + cos 2 x - 4 π 3 2 + 1 + cos 2 x + 4 π 3 2 = 1 2 3 + cos 2 x + cos 2 x + 4 π 3 + cos 2 x - 4 π 3 We know that, cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x - y 2 . = 1 2 3 + cos 2 x + 2 cos 2 x + 4 π 3 + 2 x - 4 π 3 2 cos 2 x + 4 π 3 - 2 x + 4 π 3 2 = 1 2 3 + cos 2 x + 2 cos 2 x cos 4 π 3 = 1 2 3 + cos 2 x + 2 cos 2 x cos π + π 3 = 1 2 3 + cos 2 x + 2 cos 2 x - cos π 3 = 1 2 3 + cos 2 x - 2 cos 2 x × 1 2 = 3 2 = RHS Hence, proved.

If x , y and z are in A.P, then prove that cot y = sin x - sin z cos z - cos x .

Given that, x , y , z are in A.P and we need to prove: cot y = sin x - sin z cos z - cos x If x , y , z are in A.P, then 2 y = x + z ⇒ y = x + z 2 → 1 From, RHS = sin x - sin z cos z - cos x We know that, sin C - sin D = 2 cos C + D 2 sin C - D 2 and cos C - cos D = - 2 sin C + D 2 sin C - D 2 . ⇒ sin x - sin z cos z - cos x = 2 cos x + z 2 sin x - z 2 2 sin x + z 2 sin x - z 2 = cot x + z 2 = cot y (From 1 ) = LHS Hence, proved.

If sin 2 x = λ sin 2 y , prove that tan ( x + y ) tan ( x - y ) = λ + 1 λ - 1 .

To prove: tan ( x + y ) tan ( x - y ) = λ + 1 λ - 1 And also, given that, sin 2 x = λ sin 2 y ⇒ sin ( x + y ) + ( x - y ) = λ sin ( x + y ) - ( x - y ) We know that sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B , sin ( A - B ) = sin A cos B - cos A sin B . ⇒ sin ( x + y ) cos ( x - y ) + cos ( x + y ) sin ( x - y ) = λ [ sin ( x + y ) cos ( x - y ) - cos ( x + y ) sin ( x - y ) ] ⇒ tan ( x + y ) cos ( x - y ) + sin ( x - y ) = λ [ tan ( x + y ) cos ( x - y ) - sin ( x - y ) ] (Divided by cos x + y on both sides) ⇒ tan ( x + y ) cos ( x - y ) + sin ( x - y ) = λ tan ( x + y ) cos ( x - y ) - λ sin ( x - y ) ⇒ tan ( x + y ) cos ( x - y ) [ 1 - λ ] = - sin ( x - y ) λ + 1 ⇒ tan ( x + y ) = - sin ( x - y ) ( λ + 1 ) cos ( x - y ) ( 1 - λ ) ⇒ tan ( x + y ) = tan x - y ( λ + 1 ) ( λ - 1 ) ∴ tan ( x + y ) tan ( x - y ) = λ + 1 ( λ - 1 ) Hence, proved.