Prove that cos 2 π 8 + A 2 - sin 2 π 8 - A 2 = 1 2 cos A .

We have, = cos 2 π 8 + A 2 - sin 2 π 8 - A 2 = cos π 8 + A 2 + π 8 - A 2 cos π 8 + A 2 - π 8 + A 2 ∵ cos 2 A - sin 2 B = cos A + B cos A - B = cos π 4 cos A = 1 2 cos A = RHS Hence, proved.

Find the value of cos 210 ° + sin 5 π 3 .

We have, cos 210 ° + sin 5 π 3 = cos 180 ° + 30 ° + sin 2 π - π 3 = - cos 30 ° + - sin π 3 = - 3 2 - 3 2 = - 3

Prove that sin 75 ° cos 15 ° = 2 + 3 4 .

LHS = sin 75 ° cos 15 ° = 1 2 2 sin 75 ° cos 15 ° = 1 2 sin 75 ° + 15 ° + sin 75 ° - 15 ° = 1 2 sin 90 ° + sin 60 ° = 1 2 1 + 3 2 = 2 + 3 4 = RHS Hence, proved.

Find the value of sin 2 5 ° + sin 2 10 ° + sin 2 15 ° + … + sin 2 90 ° .

This question is based on complementary function sin 90 ° - θ = cos θ . Also, sin 2 θ + cos 2 θ = 1 sin 85 ° = sin 90 ° - 5 ° = cos 5 ° Similarly, on converting the other functions also, we get = sin 2 5 ° + sin 2 85 ° + sin 2 10 ° + cos 2 80 ° + … … + sin 2 40 ° + sin 2 50 ° + sin 2 45 ° + sin 2 90 ° = sin 2 5 ° + cos 2 5 ° + sin 2 10 ° + cos 2 10 ° + … … + sin 2 40 ° + cos 2 40 ° + 1 2 2 + 1 = 1 + 1 + … . 8 terms + 1 2 + 1 = 9 1 2

Find the value of 3 cosec 20 ° - sec 20 ° .

We have, 3 cosec 20 ° - sec 20 ° = 3 sin 20 ° - 1 cos 20 ° = 3 cos 20 ° - sin 20 ° sin 20 ° cos 20 ° = 4 3 2 cos 20 ° - 1 2 sin 20 ° 2 sin 20 ° cos 20 ° = 4 sin 60 ° cos 20 ° - cos 60 ° sin 20 ° sin 40 ° ∵ sin 2 A = 2 sin A cos A = 4 sin 60 ° - 20 ° sin 40 ° = 4 ∵ sin A - B = sin A cos B - cos A sin B

If A = cos 2 θ + sin 4 θ for all values of θ , then prove that 3 4 ≤ A ≤ 1 .

We have, A = cos 2 θ + sin 4 θ ⇒ A = cos 2 θ + sin 2 θ sin 2 θ ≤ cos 2 θ + sin 2 θ Since, sin 2 θ ∈ 0 , 1 . ⇒ A ≤ 1 Also, A = cos 2 θ + sin 4 θ ⇒ A = 1 - sin 2 θ + sin 4 θ ⇒ A = sin 2 θ - 1 2 2 + 1 - 1 4 ⇒ A = sin 2 θ - 1 2 2 + 3 4 ≥ 3 4 Hence, 3 4 ≤ A ≤ 1 .