$\mathrm{C}\mathrm{D}$ and $\mathrm{}\mathrm{G}\mathrm{H}$ are respectively the bisectors of $\angle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$ and $\angle \mathrm{E}\mathrm{G}\mathrm{F}$ such that $\mathrm{}\mathrm{D}$ and $\mathrm{}\mathrm{H}$ lie on sides $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}$ and $\mathrm{}\mathrm{F}\mathrm{E}$ of $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ and $△\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}$ respectively. If $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}~△\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{G}$, show that $△\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{B}~△\mathrm{H}\mathrm{G}\mathrm{E}$.

$\mathrm{C}\mathrm{D}$ and $\mathrm{}\mathrm{G}\mathrm{H}$ are respectively the bisectors of $\angle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$ and $\mathrm{}\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{G}\mathrm{F}$ such that $\mathrm{}\mathrm{D}$ and $\mathrm{}\mathrm{H}$ lie on sides $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}$ and $\mathrm{}\mathrm{F}\mathrm{E}$ of $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ and $△\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}$ respectively. If $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}~△\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{G}$, show that $△\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}~△\mathrm{H}\mathrm{G}\mathrm{F}$

Sides $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}$ and $\mathrm{}\mathrm{B}\mathrm{C}$ and median $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{D}$ of a triangle $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ are respectively proportional to sides $\mathrm{}\mathrm{P}\mathrm{Q}$ and $\mathrm{}\mathrm{Q}\mathrm{R}$ and median $\mathrm{}\mathrm{P}\mathrm{M}$ of $△\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}$ in the given figure. Show that $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}~△\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}$.
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$\mathrm{D}\mathrm{}$ is a point on the side $\mathrm{}\mathrm{B}\mathrm{C}$ of a triangle $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ such that $\mathrm{}\mathrm{\angle }\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{}\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}$. Show that ${\mathrm{C}\mathrm{A}}^2=\mathrm{C}\mathrm{B}.\mathrm{C}\mathrm{D}$.

Sides $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}$ and $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{C}$ and median $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{D}$ of a triangle $\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ are respectively proportional to sides $\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{}$ and $\mathrm{P}\mathrm{R}$ and median $\mathrm{}\mathrm{P}\mathrm{M}$ of another triangle $\mathrm{}\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}$. Show that $\mathrm{}∆\mathrm{}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{}~\mathrm{}∆\mathrm{}\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}$.

Let $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}~△\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$ and their areas be $64 \mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ and $\mathrm{}121\mathrm{}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ respectively. If $\mathrm{E}\mathrm{F}=15.4 \mathrm{c}\mathrm{m}$, find $\mathrm{}\mathrm{B}\mathrm{C}$.