Evaluate: ∫ 3 - 2 cos x sin 2 x d x .

Given, ∫ 3 - 2 cos x sin 2 x d x = ∫ 3 sin 2 x - 2 cos x sin x × 1 sin x d x = ∫ 3 cosec 2 x - 2 cot x cosec x d x = - 3 cot x + 2 cosec x + c ∴ ∫ 3 - 2 cos x sin 2 x d x = 2 cosec x - 3 cot x + c

Evaluate: ∫ 3 - 2 cos x sin 2 x d x .

Given, ∫ 3 - 2 cos x sin 2 x d x = ∫ 3 sin 2 x - 2 cos x sin x × 1 sin x d x = ∫ 3 cosec 2 x - 2 cot x cosec x d x = - 3 cot x + 2 cosec x + c ∴ ∫ 3 - 2 cos x sin 2 x d x = 2 cosec x - 3 cot x + c

Evaluate: ∫ 2 + 3 sin x cos 2 x d x .

Given, ∫ 2 + 3 sin x cos 2 x d x = ∫ 2 cos 2 x + 3 sin x cos x · 1 cos x d x = ∫ 2 sec 2 x + 3 tan x sec x d x = 2 tan x + 3 sec x + c ∴ ∫ 2 + 3 sin x cos 2 x d x = 2 tan x + 3 sec x + c

Evaluate: ∫ tan x sin x cos x d x .

Given, ∫ tan x cos x sin x d x We know that, sin x = tan x sec x & cos x = 1 sec x ⇒ ∫ tan x cos x sin x d x = ∫ sec 2 x · 1 tan x d x Let, u = tan x ⇒ d u d x = sec 2 x ⇒ d x = 1 sec 2 x d u ⇒ ∫ sec 2 x · 1 tan x d x = ∫ 1 u d u = 2 u + C = 2 tan x + C ∴ ∫ tan x cos x sin x d x = 2 tan x + C

Evaluate: ∫ ( 2 x + 3 ) 2 x d x .

Given, ∫ ( 2 x + 3 ) 2 x d x = ∫ 4 x 2 + 9 + 12 x x d x = ∫ 4 x + 9 x + 12 d x = 4 ∫ x d x + 9 ∫ 1 x d x + 12 ∫ 1 d x = 4 x 2 2 + 9 log x + 12 x + C ∴ ∫ ( 2 x + 3 ) 2 x d x = 2 x 2 + 9 log x + 12 x + C

Evaluate: ∫ ( 3 x - 2 ) 2 x d x .

Given, ∫ ( 3 x - 2 ) 2 x d x = ∫ 9 x 2 - 12 x + 4 x d x = ∫ 9 x 3 2 - 12 x + 4 x d x = 9 ∫ x 3 2 d x - 12 ∫ x d x + 4 ∫ 1 x d x = 18 x 5 2 5 - 8 x 3 2 + 8 x + C ∵ ∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C , n ≠ - 1 ∴ ∫ ( 3 x - 2 ) 2 x d x = 18 x 5 2 5 - 8 x 3 2 + 8 x + C

Evaluate: ∫ x x 2 + x + 2 d x .

Given, ∫ x x 2 + x + 2 d x = ∫ x 5 2 + x 3 2 + 2 x d x = ∫ x 5 2 d x + ∫ x 3 2 d x + 2 ∫ x d x = 2 x 7 2 7 + 2 x 5 2 5 + 4 x 3 2 3 + C ∵ ∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C , n ≠ - 1 ∴ ∫ x x 2 + x + 2 d x = 2 x 7 2 7 + 2 x 5 2 5 + 4 x 3 2 3 + C

Evaluate: ∫ x 3 + x 2 + x + 1 x 2 + 1 d x .

Given, ∫ x 3 + x 2 + x + 1 x 2 + 1 d x = ∫ x 2 ( x + 1 ) + ( x + 1 ) x 2 + 1 d x = ∫ x 2 + 1 ( x + 1 ) x 2 + 1 d x = ∫ ( x + 1 ) d x = x 2 2 + x + c ∴ ∫ x 3 + x 2 + x + 1 x 2 + 1 d x = x 2 2 + x + c

Evaluate: ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 + x + 1 d x .

Given, ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 + x + 1 d x We know that, x 4 + x 2 + 1 = x 2 - x + 1 x 2 + x + 1 ⇒ ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 + x + 1 d x = ∫ x 2 - x + 1 d x = ∫ x 2 d x - ∫ x d x + ∫ 1 d x = x 3 3 - x 2 2 + x + C ∴ ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 + x + 1 d x = x 3 3 - x 2 2 + x + C

Evaluate: ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - x + 1 d x .

Given, ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - x + 1 d x We know that, x 4 + x 2 + 1 = x 2 - x + 1 x 2 + x + 1 ⇒ ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - x + 1 d x = ∫ x 2 + x + 1 d x = ∫ x 2 d x + ∫ x d x + ∫ 1 d x = x 3 3 + x 2 2 + x + C ∴ ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - x + 1 d x = x 3 3 + x 2 2 + x + C