Evaluate the following integrals : ∫ ln x + 1 ln x d x x

Let ln x = t Differentiating both sides 1 x d x = d t ⇒ I = ∫ ln x + 1 ln x d x x ⇒ I = ∫ t + 1 t d t ⇒ I = t 2 2 + ln t + c ⇒ ln x 2 2 + ln ln x + c

Evaluate the following integrals : ∫ ln x + 1 ln x d x x

Let ln x = t Differentiating both sides 1 x d x = d t ⇒ I = ∫ ln x + 1 ln x d x x ⇒ I = ∫ t + 1 t d t ⇒ I = t 2 2 + ln t + c ⇒ ln x 2 2 + ln ln x + c

Find the following integrals : ∫ x 2 1 - x 3 d x

Let 1 - x = t Differentiating both sides - d x = d t I = - ∫ 1 - t 2 t 3 d t Now, integration by parts ⇒ I = - 1 - t 2 ∫ t 1 3 d t - ∫ - 2 1 - t ∫ t 1 3 d t ⇒ I = - 4 3 1 - t 2 t 3 4 - ∫ - 3 2 t - 1 t 4 3 d t ⇒ I = - 4 3 1 - t 2 t 3 4 + 3 2 t 10 3 10 3 - 3 2 t 7 3 7 3 + c ⇒ I = - 4 3 x 2 1 - x 3 4 + 9 20 1 - x 10 3 - 9 14 1 - x 7 3 + c

Find the following integrals : ∫ ln x d x x 1 + ln x

Let 1 + ln x = t 1 x d x = d t ⇒ I = ∫ t - 1 d t t ⇒ I = ∫ t 1 2 d t - ∫ t - 1 2 d t ⇒ I = t 3 2 3 2 - t 1 2 1 2 + c ⇒ I = 2 3 t 3 2 - 2 t 1 2 + c ⇒ I = 2 3 1 + ln x 3 2 - 2 1 + ln x 1 2 + c

Find the following integrals : ∫ cos 5 x sin x d x

I = ∫ cos 5 x sin x d x ⇒ I = ∫ cos x cos 4 x sin x d x ⇒ I = ∫ cos x 1 - sin 2 x 2 sin x d x Let sin x = t ⇒ cos x d x = d t ⇒ I = ∫ 1 - t 2 2 t d t ⇒ I = ∫ 1 + t 4 - 2 t 2 t d t ⇒ I = ∫ t 1 2 + t 9 2 - 2 t 5 2 d t ⇒ I = t 3 2 3 2 + t 11 2 11 2 - 2 t 7 2 7 2 + c ⇒ I = 2 3 t 3 2 + 2 11 t 11 2 + 4 7 t 7 2 + c ⇒ I = 2 3 sin 3 x + 2 11 sin 11 x + 4 7 sin 7 x + c

Find the following integrals : ∫ x 5 1 - x 2 d x

Let 1 - x 2 = t 2 Differentiating both sides ⇒ - 2 x d x = 2 t d t ⇒ x d x = - t d t ⇒ I = ∫ x 5 1 - x 2 d x ⇒ I = ∫ x 4 . x 1 - x 2 d x ⇒ I = ∫ 1 - t 2 2 t d t ⇒ I = ∫ 1 + t 4 - 2 t 2 t d t ⇒ I = ∫ d t t + ∫ t 3 d t - ∫ 2 t d t ⇒ I = ln t + t 4 4 - t 2 + c ⇒ I = ln 1 - x 2 + 1 - x 2 2 4 - 1 - x 2 + c

∫ sin - 1 x = ∫ sin - 1 x . 1 d x ⇒ I = sin - 1 x ∫ 1 d x - ∫ d sin - 1 x d x ∫ 1 d x ⇒ I = sin - 1 x . x - ∫ x 1 - x 2 d x ⇒ I = x sin - 1 x - 1 2 ∫ 2 x 1 - x 2 d x ∫ f x n f ' x d x = f x n + 1 n + 1 + c ⇒ I = x sin - 1 x - 1 2 1 - x 2 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + c ⇒ I = x sin - 1 x - 1 - x 2 + c

I = ∫ sin x lntan x d x

I = ∫ sin x ln tan x d x Apply integration by parts ⇒ I = ln tan x ∫ sin x d x - ∫ d ln tan x d x ∫ sin x d x ⇒ I = - ln tan x cos x - ∫ 1 tan x - cos x d x ⇒ I = - ln tan x cos x + ∫ cos 2 x sin x d x ⇒ I = - ln tan x cos x + ∫ 1 - sin 2 x sin x d x ⇒ I = - ln tan x cos x + ∫ cos e c x d x - ∫ sin x d x ⇒ I = - ln tan x cos x + ln cos e c x - c o t x + cos x + c ⇒ I = cos x 1 - ln tan x + ln cos e c x - c o t x + c

Evaluate the following integrals : ∫ x 3 ( ln x ) 2 d x

Let I = ∫ x 3 ln x 2 d x Put x = e y ⇒ d x = e y d y ∴ I = ∫ e y 1 3 ln e y 2 · e y d y = ∫ e 4 y 3 y 2 d y Solving it by integration by parts, we have I = y 2 ∫ e 4 y 3 d y - ∫ d d y y 2 ∫ e 4 y 3 d y d y = y 2 · e 4 y 3 4 3 - ∫ 2 y · e 4 y 3 4 3 d y = 3 4 y 2 e 4 y 3 - 3 2 y · e 4 y 3 4 3 - ∫ 1 · e 4 y 3 4 3 d y + c = 3 4 y 2 e 4 y 3 - 9 8 y e 4 y 3 + 27 32 e 4 y 3 + c = 3 4 e 4 y 3 y 2 - 3 2 y + 9 8 + c = 3 4 x 4 3 ln x 2 - 3 2 ln x + 9 8 + c = 3 4 x x 3 ln x 2 - 3 2 ln x + 9 8 + c .