Given, x 4 + 4 = x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 - 2 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 2 x 2 + 4 x + 4 = x 2 x 2 + 2 x + 2 - 2 x x 2 + 2 x + 2 + 2 x 2 + 2 x + 2 = x 2 + 2 x + 2 x 2 - 2 x + 2 Hence, x 4 + 4 = x 2 + 2 x + 2 x 2 - 2 x + 2

Divide: 273 x y 4 - 7 y 3 - 8 y 2 ÷ 21 y y + 1

Given 273 x y 4 - 7 y 3 - 8 y 2 ÷ 21 y y + 1 . Here we need to divide a polynomial with another polynomial. Thus, 273 x y 4 - 7 y 3 - 8 y 2 ÷ 21 y y + 1 = 273 x y 4 - 7 y 3 - 8 y 2 21 y y + 1 ⇒ 273 x y 4 - 7 y 3 - 8 y 2 21 y y + 1 = 273 x y 2 × y 2 - 7 × y 2 × y - 8 × y 2 21 y y + 1 ⇒ 273 x y 4 - 7 y 3 - 8 y 2 21 y y + 1 = 273 x × y 2 × y 2 - 7 y - 8 21 y y + 1 Now, 273 x y 2 y 2 - 7 y - 8 21 y y + 1 = 273 x y 2 y 2 - 8 y + y - 8 21 y y + 1 [Splitting middle term inside the bracket at the numerator, as x 2 + a + b x + a b = x + a x + b ] ⇒ 273 x y 2 y 2 - 7 y - 8 21 y y + 1 = 273 x y 2 y y - 8 + y - 8 21 y y + 1 [Taking out common factor y from inside the bracket at numerator] ⇒ 273 x y 2 y 2 - 7 y - 8 21 y y + 1 = 273 x y 2 y - 8 y + 1 21 y y + 1 [Taking the common factor y - 8 to outside the bracket] ⇒ 273 x y 2 y 2 - 7 y - 8 21 y y + 1 = 13 × 21 × x × y × y × y - 8 y + 1 21 × y × y + 1 ⇒ 273 x y 2 y 2 - 7 y - 8 21 y y + 1 = 13 × 21 × x × y × y × y - 8 y + 1 21 × y × y + 1 [Cancelling the equal terms both in numerator and denominator] ⇒ 273 x y 2 y 2 - 7 y - 8 21 y y + 1 = 13 x y y - 8 Hence, 273 x y 4 - 7 y 3 - 8 y 2 ÷ 21 y y + 1 = 13 x y y - 8

Divide: 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 ÷ 5 y + 1 x + 7

Given 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 ÷ 5 y + 1 x + 7 . Here we need to divide algebraic expression of a polynomial with another polynomial. Now we have to factorize the terms given, we get, 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 ÷ 5 y + 1 x + 7 = 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 5 y + 1 x + 7 ⇒ 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 5 y + 1 x + 7 = 15 x 2 + 3 x + 7 x + 21 y + 1 5 y + 1 x + 7 ∵ 21 = 3 × 7 , 10 = 3 + 7 [Splitting middle term inside the bracket] ⇒ 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 5 y + 1 x + 7 = 15 x x + 3 + 7 x + 3 y + 1 5 y + 1 x + 7 [Taking out common factors from each of two terms inside the bracket at numerator] ⇒ 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 5 y + 1 x + 7 = 15 x + 3 x + 7 y + 1 5 y + 1 x + 7 [Taking the binomial common factor to outside the bracket] ⇒ 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 5 y + 1 x + 7 = 3 x + 3 [Cancelling the equal factor terms both in numerator and denominator] Hence, 15 x 2 + 10 x + 21 y + 1 ÷ 5 y + 1 x + 7 = 3 x + 3