Find the derivative of y w.r.t. x when tany = 2 t 1 - t 2 , sinx = 2 t 1 + t 2

Given that, tan y = 2 t 1 - t 2 , sin x = 2 t 1 + t 2 Let, tan y = 2 t 1 + t 2 ⇒ y = tan - 1 2 t 1 - t 2 ⇒ sin x = 2 t 1 + t 2 ⇒ x = sin - 1 2 t 1 + t 2 Let, t = tan θ ⇒ θ = tan - 1 t ⇒ y = tan - 1 2 tan θ 1 - tan 2 θ = tan - 1 ( tan 2 θ ) = 2 θ ⇒ x = sin - 1 2 tan θ 1 + tan 2 θ = sin - 1 ( sin 2 θ ) = 2 θ Here, y = x ⇒ d y d x = d d x ( x ) ∴ d y d x = 1

Find dy dx when e x siny - e - y cosx = 0

Given that, e x · sin y - e - y · cos x = 0 Differentiating the given equation w.r.t x we get, ⇒ d d x e x · sin y - e - y · cos x = 0 We know that, d d x u · v = u d v d x + v d u d x and d d x cos n x = - n sin n x . ⇒ e x cos y d y d x + sin y · e x - e - y · ( - sin x ) + cos x · e - y - d y d x = 0 ⇒ e x · cos y d y d x + sin y · e x + e - y sin x + cos x · e - y d y d x = 0 ⇒ e x · cos y + cos x · e - y d y d x = - sin y · e x + e - y sin x ⇒ d y d x = - sin y · e x + e - y sin x e x · cos y + cos x · e - y = - sin y · e x y + sin x e x y · cos y + cos x ∴ d y d x = - sin y · e x y + sin x e x y · cos y + cos x

Find dy dx when 2 x 2 + 5 xy + 3 y 2 = 1

Given that, 2 x 2 + 5 x y + 3 y 2 = 1 Differentiating the equation w.r.t x We know that, d d x u · v = u d v d x + v d u d x and d d x x n = n x n - 1 and d d x f g x = f ' g x g ' x . ⇒ 2 ( 2 x ) + 5 x d y d x + y ( 1 ) + 3 ( 2 y ) d y d x = 0 ⇒ 4 x + 5 x d y d x + 5 y + 6 y d y d x = 0 ⇒ ( 4 x + 5 y ) + ( 5 x + 6 y ) d y d x = 0 ⇒ ( 5 x + 6 y ) d y d x = - ( 4 x + 5 y ) ∴ d y d x = - ( 4 x + 5 y ) ( 5 x + 6 y )

Find dy dx when x = ylog ( xy )

Given that, x = y · log ( x · y ) ⇒ x = y [ log x + log y ] ⇒ x = y log x + y log y Differentiate w.r.t. x We know that, d d x u · v = u d v d x + v d u d x , d d x log n x = 1 x and d d x x n = n x n - 1 . ⇒ 1 = y · 1 x + log x d y d x + y · 1 y · d y d x + log y · d y d x ⇒ 1 = y x + log x d y d x + d y d x + log y d y d x ⇒ 1 - y x = d y d x ( log x + 1 + log y ) ∴ d y d x = ( x - y ) x ( 1 + log x + log y )

Find dy dx when x y = y x

Given that, x y = y x Taking log both sides, ⇒ y log x = x log y Differentiate w.r.t. x , We know that, d d x u · v = u d v d x + v d u d x , d d x log x = 1 x and d d x x n = n x n - 1 . ⇒ y · 1 x + log x d y d x = x · 1 y · d y d x + log y d x d x ⇒ y x + log x d y d x = x y · d y d x + log y ⇒ log x - x y d y d x = log y - y x ⇒ y log x - x y d y d x = x log y - y x ⇒ d y d x = y x log y - y x y log x - x

Find dy dx when y y = sinx

Given that, y y = sin x ⇒ log y y = log ( sin x ) ⇒ y · log y = logsin x Differentiating the equation w.r.t x We know that, d d x u · v = u d v d x + v d u d x , d d x f g x = f ' g x g ' x and d d x log n x = 1 x . ⇒ y 1 y d y d x + log y d y d x = 1 sin x cos x ⇒ d y d x + log y d y d x = cot x ⇒ d y d x ( 1 + log y ) = cot x ∴ d y d x = cot x ( 1 + log y )