If cos ( y - z ) + cos ( z - x ) + cos ( x - y ) = - 3 2 , prove that cos x + cos y + cos z = 0 = sin x + sin y + sin z .

We have cos ( y - z ) + cos ( z - x ) + cos ( x - y ) = - 3 2 ⇒ cos y cos z + sin y sin z + cos z cos x + sin z sin x + cos x cos y + sin x sin y = - 3 2 ⇒ 2 cos y cos z + 2 s in y sin z + 2 cos z cos x + 2 sin z sin x + 2 cos x cos y + 2 sin x sin y + 3 = 0 ⇒ 1 + 1 + 1 + 2 cos y cos z + 2 s in y sin z + 2 cos z cos x + 2 sin z sin x + 2 cos x cos y + 2 sin x sin y = 0 ⇒ sin 2 x + cos 2 x + sin 2 y + cos 2 y + sin 2 z + cos 2 z + 2 cos y cos z + 2 s in y sin z + 2 cos z cos x + 2 sin z sin x + 2 cos x cos y + 2 sin x sin y = 0 ⇒ sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z + 2 sin x sin y + 2 sin y sin z + 2 sin z sin x + cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z + 2 cos x cos y + 2 cos y cos z + 2 cos z cos x = 0 ⇒ ( sin x + sin y + sin z ) 2 + ( cos x + cos y + cos z ) 2 = 0 ⇒ cos x + cos y + cos z = 0 = sin x + sin y + sin z

For all values of α , β , γ prove that, cos α + cos β + cos γ + cos α + β + γ = 4 cos α + β 2 cos β + γ 2 cos γ + α 2

LHS = cos α + cos β + cos γ + cos α + β + γ = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 + 2 cos α + β + 2 γ 2 cos α + β 2 = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β + 2 γ 2 = 2 cos α + β 2 2 cos α + γ 2 cos β + γ 2 = 4 cos α + β 2 cos β + γ 2 cos α + γ 2 = RHS

If cos θ = cos u - e 1 - e cos u , prove that tan θ 2 = ± 1 + e 1 - e tan u 2 .

We have to prove that tan θ 2 = ± 1 + e 1 - e tan u 2 Where as given is, cos θ 1 = cos u - e 1 - e cos u Now, apply componendo and dividendo. ⇒ 1 - cos θ 1 + cos θ = 1 - e cos u - cos u + e 1 - e cos u + cos u - e ⇒ 1 - cos θ 1 + cos θ = ( 1 + e ) ( 1 - cos u ) ( 1 - e ) ( 1 + cos u ) Now, using 1 - cos 2 A = 2 sin 2 A and 1 + cos 2 A = 2 cos 2 A ⇒ 2 sin 2 θ / 2 2 cos 2 θ / 2 = 1 + e 1 - e 2 sin 2 u / 2 2 cos 2 u / 2 ⇒ tan 2 ( θ / 2 ) = 1 + e 1 - e · tan 2 u 2 ⇒ tan ( θ / 2 ) = ± 1 + e 1 - e · tan u 2 Hence, proved.