Find the reduction formula for ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x .

Consider, ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sin n − 1 ⁡ x ⋅ sin ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sin n − 1 ⁡ x d d x ( − cos ⁡ x ) d x = sin n − 1 ⁡ x ( − cos ⁡ x ) 0 π 2 + ∫ 0 π 2 ( n − 1 ) sin n − 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 0 + ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 sin n − 2 ⁡ x 1 − sin 2 ⁡ x d x ∵ sin 2 A + cos 2 A = 1 = ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 sin n − 2 ⁡ x − ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x Hence, n ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 sin n − 2 ⁡ x d x ∴ ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = ( n − 1 ) n ∫ 0 π 2 sin n − 2 ⁡ x d x . . . 1 Hence, if we write I n = ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x then from 1 , we have I n = n − 1 n I n − 2 . On applying successively, the formula for integration by parts to the right hand side integral, we get I n = n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 I n − 4 ⋮ = n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ n − 5 n − 4 ⋯ A Where A = ∫ 0 π 2 d x , if n is even ∫ π 2 π sin ⁡ x d x , if n is odd = π 2 , if n is even 1 , if n is odd . So, we have ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 1 2 ⋅ π 2 , if n is even n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 2 3 ; , if n is odd .

Evaluate ∫ 9 cos ⁡ x − sin ⁡ x 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x d x

Let I = ∫ 9 cos ⁡ x − sin ⁡ x 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x d x = ∫ ( 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x ) + ( 4 cos ⁡ x − 5 sin ⁡ x ) 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x d x = ∫ d x + ∫ 4 cos ⁡ x − 5 sin ⁡ x 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x d x Consider, ∫ 4 cos ⁡ x − 5 sin ⁡ x 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x d x Put 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x = t ⇒ 4 cos x - 5 sin x d x = d t ∴ I = ∫ d x + ∫ d t t ⇒ I = x + log t + C ⇒ I = x + log ⁡ | 4 sin ⁡ x + 5 cos ⁡ x | + C