Find the sum to n -terms of the sequence 1 1 · 3 · 5 + 1 3 · 5 · 7 + 1 5 · 7 · 9 + …

Given, 1 1 · 3 · 5 + 1 3 · 5 · 7 + 1 5 · 7 · 9 + … = 1 4 4 1 · 3 · 5 + 4 3 · 5 · 7 + 4 5 · 7 · 9 + … = 1 4 5 - 1 1 · 3 · 5 + 7 - 3 3 · 5 · 7 + 9 - 5 5 · 7 · 9 + … = 1 4 1 1 · 3 - 1 3 × 5 + 1 3 × 5 - 1 5 · 7 + 1 5 · 7 - 1 7 × 9 + … = 1 4 1 3 - 1 2 n + 1 2 n + 3 = 1 12 - 1 4 2 n + 1 2 n + 3

Find the sum to n -terms of the sequence 1 1 · 3 · 5 + 1 3 · 5 · 7 + 1 5 · 7 · 9 + …

Given, 1 1 · 3 · 5 + 1 3 · 5 · 7 + 1 5 · 7 · 9 + … = 1 4 4 1 · 3 · 5 + 4 3 · 5 · 7 + 4 5 · 7 · 9 + … = 1 4 5 - 1 1 · 3 · 5 + 7 - 3 3 · 5 · 7 + 9 - 5 5 · 7 · 9 + … = 1 4 1 1 · 3 - 1 3 × 5 + 1 3 × 5 - 1 5 · 7 + 1 5 · 7 - 1 7 × 9 + … = 1 4 1 3 - 1 2 n + 1 2 n + 3 = 1 12 - 1 4 2 n + 1 2 n + 3

Find the sum to n -terms of the sequence 1 · 3 · 2 2 + 2 · 4 · 3 2 + 3 · 5 · 4 2 + …

Given, 1 · 3 · 2 2 + 2 · 4 · 3 2 + 3 · 5 · 4 2 + … So, the general term is n n + 2 n + 1 2 = n 2 + 2 n n 2 + 1 + 2 n = n 4 + 4 n 3 + 5 n 2 + 2 n So, ∑ n 4 + 4 n 3 + 5 n 2 + 2 n = ∑ n 4 + 4 ∑ n 3 + 5 ∑ n 2 + 2 ∑ n = n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 30 + 4 n n + 1 2 2 + 5 n n + 1 2 n + 1 6 + 2 n n + 1 2 = n 10 n + 1 n + 2 n + 3 2 n + 3

If t n = 3 n - 2 n , then find ∑ n = 1 k t n .

Given t n = 3 n - 2 n . Now, ∑ n = 1 k t n = ∑ n = 1 k 3 n - 2 n ⇒ ∑ n = 1 k t n = 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 k - 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 k Now, using the sum of n terms of a geometric progression i.e., a + a r + a r 2 + . . . a r n - 1 = a r n - 1 r - 1 . ⇒ ∑ n = 1 k t n = 3 3 k - 1 3 - 1 - 2 2 k - 1 2 - 1 ⇒ ∑ n = 1 k t n = 3 k + 1 - 3 2 - 2 k + 1 + 2 ⇒ ∑ n = 1 k t n = 3 k + 1 - 3 + 4 2 - 2 k + 1 ⇒ ∑ n = 1 k t n = 1 2 3 k + 1 + 1 - 2 k + 1

If t n = n n + 2 , then find ∑ n = 1 k t n

Given t n = n n + 2 = n 2 + 2 n We know that ∑ n = 1 k n = k k + 1 2 and ∑ n = 1 k n 2 = k k + 1 2 k + 1 6 Hence, ∑ n = 1 k t n = ∑ n = 1 k n 2 + 2 ∑ n = 1 k n ⇒ ∑ n = 1 k t n = k k + 1 2 k + 1 6 + 2 k k + 1 2 ⇒ ∑ n = 1 k t n = k k + 1 2 k + 1 6 + 1 ⇒ ∑ n = 1 k t n = k k + 1 2 k + 1 + 6 6 ⇒ ∑ n = 1 k t n = k k + 1 2 k + 7 6