Form the differential equation satisfied by 1 - x 2 + 1 - y 2 = a x - y , a is arbitrary constant.

Substitute x = sin θ , y = sin ϕ . Hence, the given equation is reduced to cos θ + cos ϕ = a ( sin θ − sin ϕ ) ⇒ 2 cos θ + ϕ 2 cos θ − ϕ 2 = 2 a cos θ + ϕ 2 sin θ − ϕ 2 ⇒ c o t θ − ϕ 2 = a ⇒ θ − ϕ = 2 c o t − 1 a ⇒ sin − 1 x − sin − 1 y = 2 c o t − 1 a Differentiating we get : 1 1 − x 2 − 1 1 − y 2 d y d x = 0 , which is the differential equation.

Solve 1 - x 2 d y d x + x y = a x .

Given 1 - x 2 d y d x + x y = a x ⇒ d y d x + x 1 - x 2 y = a x 1 - x 2 This is linear differential equation of the form d y d x + P y = Q , where P = x 1 - x 2 and Q = a x 1 - x 2 . Now, I . F . = e ∫ P d x = e ∫ x 1 - x 2 d x = e - 1 2 log ( 1 - x 2 ) = 1 1 - x 2 Its solution is y · I . F . = ∫ Q · I . F . d x ⇒ y × 1 1 - x 2 = ∫ a x 1 - x 2 × 1 1 - x 2 d x Let 1 - x 2 = t ⇒ - 2 x d x = d t ⇒ x d x = - d t 2 ⇒ y 1 - x 2 = - a 2 ∫ d t t 3 2 = - a 2 t - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 + c ⇒ y 1 - x 2 = a t + c ⇒ y 1 - x 2 = a 1 - x 2 + c ⇒ y = a + c 1 - x 2

Solve the differential equation d x d y + x = e e y .

Given, d x d y + x = e e y The given equation is a Linear Differential Equation in the form : d x d y + P ( y ) x = Q ( y ) Here, P ( y ) = 1 & Q ( y ) = e e y ∴ I . F . = e ∫ P ( y ) d y = e ∫ 1 d y = e y Solution of the Linear Differential Equation : x I . F . = ∫ I . F . × Q ( y ) d y + c ⇒ e y x = ∫ e y × e e y d y + c … i Substitute, e y = t ⇒ e y d y d t = 1 ⇒ d y = d t e y From i ⇒ e y x = ∫ t e t d t e y + c = ∫ t e t d t t + c = ∫ e t d t + c = e t + c ⇒ e y x = e e y + c , is the required equation.

Solve the differential equation ( x d y - y d x ) y sin y x = ( y d x + x d y ) x cos y x .

Given, ( x d y - y d x ) y sin y x = ( y d x + x d y ) x cos y x ⇒ x y sin y x d y - y 2 sin y x d x = x y cos y x d x + x 2 cos y x d y ⇒ x y sin y x - x 2 cos y x d y = x y cos y x + y 2 sin y x d x ⇒ d y d x = x y cos y x + y 2 sin y x x y sin y x - x 2 cos y x ⇒ d y d x = y x cos y x + y x 2 cos y x y x sin y x - cos y x ⇒ y = v x ⇒ d y d x = x d v d x + v ⇒ v + xdv dx = vx x cos vx x + v 2 x 2 x 2 sin vx x vx x sin vx x - cos vx x ⇒ x dv dx = vcosv + v 2 sinv vsinv - cosv - v ⇒ x dv dx = vcosv + v 2 sinv - v 2 sinv + vcosv vsinv - cosv ⇒ xdv dx = 2 vcosv vsinv - cosv ⇒ vsinv - cosv vcosv dv = 2 dx x ⇒ vsinv vcosv - cosv vcosv dv = 2 dx x ⇒ tanv - 1 v dv = 2 dx x ⇒ ∫ tanv - 1 v dv = 2 ∫ dx x ⇒ ∫ tanvdv - ∫ dv v = 2 ∫ dx x ⇒ log | secv | - log | v | = 2 log | x | + logC ⇒ log secv v = logx 2 + logC ⇒ log secv v = logx 2 c ⇒ secv v = x 2 c ⇒ sec y x y x = x 2 c ⇒ sec y x = y x x 2 c ⇒ sec y x = Cxy is the required differential equation.