If sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b , then prove that b 2 x 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 + a 2 y 2 = c 4 .

Given that, sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b and To prove: b 2 x 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 + a 2 y 2 = c 4 Consider, sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b ⇒ sin - 1 x a = sin - 1 c 2 a b - sin - 1 y b ⇒ x a = sin sin - 1 c 2 a b - sin - 1 y b ⇒ x a = sin sin - 1 c 2 a b cos sin - 1 y b - cos sin - 1 c a b sin sin - 1 y b [Using sin A - B = sin A cos B - cos A sin B ] ⇒ x a = c 2 a b cos cos - 1 1 - y 2 b 2 - cos cos - 1 1 - c 4 a 2 b 2 · y b [Using sin - 1 sin x = x ; x ∈ - π 2 , π 2 and sin - 1 x = cos - 1 1 - x 2 ] ⇒ x a = c 2 a b · 1 - y 2 b 2 - 1 - c 4 a 2 b 2 · y b ⇒ x a + y b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 2 a b 1 - y 2 b 2 ⇒ x a + y b 1 - c 4 a 2 b 2 2 = c 2 a b 1 - y 2 b 2 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 1 - c 4 a 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 1 - y 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 - y 2 b 2 · c 4 a 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 - c 4 a 2 b 2 · y 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 ⇒ b 2 x 2 + a 2 y 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 = c 4 [Multiplied both sides with a 2 b 2 ] Hence, proved.

If sin - 1 x + sin - 1 y + sin - 1 z = π , then prove that x 1 - x 2 + y 1 - y 2 + z 1 - z 2 = 2 x y z

We are given, sin - 1 x + sin - 1 y + sin - 1 z = π Let, sin − 1 x = A ⇒ sin A = x sin - 1 y = B ⇒ sin B = y sin − 1 z = C ⇒ sin C = z . Here, A , B , C ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] ∴ A + B + C = π . . . . . ( 1 ) Now, L H S = x 1 - x 2 + y 1 - y 2 + z 1 - z 2 = 2 x y z = sin A . 1 − sin 2 A + sin B 1 − sin 2 B + sin C . 1 − sin 2 C = sin A . cos A + sin B cos B + sin C . cos C [Multiply & Divide by 2 ] = 2 2 [ sin A cos A + sin B cos B ] + sin C . cos C = [ 2 sin A cos A + 2 sin B cos B ] 2 + sin C . cos C ∵ 2 sin θ cos θ = sin 2 θ = ( sin A + sin 2 B ) 2 + sin C . cos C = 2 sin 2 A + 2 B 2 cos 2 A − 2 B 2 2 + sin C . cos C = sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C . cos C = sin ( π − C ) cos ( A − B ) + sin C . cos ( π − ( A + B ) ) = sin C [ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ] = sin C [ − 2 sin ( − 2 B 2 ) sin ( 3 A 2 ) ] = 2 sin A sin B sin C = 2 x y z = R H S .