If 9 n · 3 2 · 3 n - ( 27 ) n 3 m · 2 3 = 3 - 3 , show that m - n = 1 .

We have, 9 n × 3 2 × 3 n - ( 27 ) n 3 m × 2 3 = 3 - 3 ⇒ 3 2 n × 3 2 × 3 n - 3 3 n 3 m 3 × 2 3 = 3 - 3 ⇒ 3 2 n × 3 2 × 3 n - 3 3 n 3 3 m × 8 = 1 3 3 ⇒ 9 × 3 2 n + n - 3 3 n 8 × 3 3 m = 1 3 3 ⇒ 8 × 3 3 n 8 × 3 3 m = 1 3 3 ⇒ 3 3 n 3 3 m = 1 3 3 ⇒ 3 3 m 3 3 n = 3 3 ⇒ 3 3 m - 3 n = 3 3 ⇒ 3 3 m - n = 3 3 ⇒ 3 3 ( m - n ) = 3 3 1 ⇒ m - n = 1 Hence, proved.

If 9 n · 3 2 · 3 n - ( 27 ) n 3 m · 2 3 = 3 - 3 , show that m - n = 1 .

We have, 9 n × 3 2 × 3 n - ( 27 ) n 3 m × 2 3 = 3 - 3 ⇒ 3 2 n × 3 2 × 3 n - 3 3 n 3 m 3 × 2 3 = 3 - 3 ⇒ 3 2 n × 3 2 × 3 n - 3 3 n 3 3 m × 8 = 1 3 3 ⇒ 9 × 3 2 n + n - 3 3 n 8 × 3 3 m = 1 3 3 ⇒ 8 × 3 3 n 8 × 3 3 m = 1 3 3 ⇒ 3 3 n 3 3 m = 1 3 3 ⇒ 3 3 m 3 3 n = 3 3 ⇒ 3 3 m - 3 n = 3 3 ⇒ 3 3 m - n = 3 3 ⇒ 3 3 ( m - n ) = 3 3 1 ⇒ m - n = 1 Hence, proved.

Prove that a - 1 a - 1 + b - 1 + a - 1 a - 1 - b - 1 = 2 b 2 b 2 - a 2 .

We have, L.H.S. = a - 1 a - 1 + b - 1 + a - 1 a - 1 - b - 1 = 1 a 1 a + 1 b + 1 a 1 a - 1 b = 1 a a + b a b + 1 a b - a a b = 1 × a b a ( a + b ) + 1 × a b a ( b - a ) = b b + a + b b - a = b b - a + b ( b + a ) ( b + a ) ( b - a ) = b 2 - a b + b 2 + a b b 2 - a 2 ∵ b + a b - a = b 2 - a 2 = 2 b 2 b 2 - a 2 = R.H.S. Hence, proved.