If a + b + c + d a + b - c - d = a - b + c - d a - b - c + d , then show that a : b = c : d .

Given: a + b + c + d a + b - c - d = a - b + c - d a - b - c + d ⇒ a + b + c + d × a - b - c + d = a + b - c - d × a - b + c - d ⇒ a + d + b + c × a + d - b - c = a + b - c - d × a - d + c - b ⇒ a 2 - a b - a c + a d + a b - b 2 - b c + b d + a c - b c - c 2 + c d + a d - b d - c d + d 2 = a 2 - a b + a c - a d + a b - b 2 + b c - b d - a c + b c + c d - c 2 - a d + b d - c d + d 2 ⇒ a d - b c - b c + a d = - a d + b c - a d + b c ⇒ 2 a d - 2 b c = 2 b c - 2 a d ⇒ a d - b c = b c - a d ⇒ a d + a d = b c + b c ⇒ 2 a d = 2 b c ⇒ a d = b c ⇒ a b = c d ∴ a : b = c : d Hence, proved.

If a + b + c + d a + b - c - d = a - b + c - d a - b - c + d , then show that a : b = c : d .

Given: a + b + c + d a + b - c - d = a - b + c - d a - b - c + d ⇒ a + b + c + d × a - b - c + d = a + b - c - d × a - b + c - d ⇒ a + d + b + c × a + d - b - c = a + b - c - d × a - d + c - b ⇒ a 2 - a b - a c + a d + a b - b 2 - b c + b d + a c - b c - c 2 + c d + a d - b d - c d + d 2 = a 2 - a b + a c - a d + a b - b 2 + b c - b d - a c + b c + c d - c 2 - a d + b d - c d + d 2 ⇒ a d - b c - b c + a d = - a d + b c - a d + b c ⇒ 2 a d - 2 b c = 2 b c - 2 a d ⇒ a d - b c = b c - a d ⇒ a d + a d = b c + b c ⇒ 2 a d = 2 b c ⇒ a d = b c ⇒ a b = c d ∴ a : b = c : d Hence, proved.

If b y + c z b 2 + c 2 = c z + a x c 2 + a 2 = a x + b y a 2 + b 2 , then show that x a = y b = z c .

Given: b y + c z b 2 + c 2 = c z + a x c 2 + a 2 = a x + b y a 2 + b 2 Let, b y + c z b 2 + c 2 = c z + a x c 2 + a 2 = a x + b y a 2 + b 2 = k b y + c z = k b 2 + c 2 - - - - - i c z + a x = k c 2 + a 2 - - - - - i i a x + b y = k a 2 + b 2 - - - - - i i i Adding i , i i , i i i ⇒ b y + c z + c z + a x + a x + b y = k b 2 + c 2 + k c 2 + a 2 + k a 2 + b 2 ⇒ 2 a x + 2 b y + 2 c z = 2 k b 2 + 2 k c 2 + 2 k a 2 ⇒ 2 a x + b y + c z = 2 k b 2 + c 2 + a 2 ⇒ a x + b y + c z = k b 2 + c 2 + a 2 - - - - - i v Subtracting i v - i , a x + b y + c z - b y + c z = k b 2 + c 2 + a 2 - k b 2 + c 2 ⇒ a x = k a 2 ⇒ k = x a Subtracting i v - i i , a x + b y + c z - a x + c z = k b 2 + c 2 + a 2 - k c 2 + a 2 ⇒ b y = k b 2 ⇒ k = y b Subtracting i v - i i i , a x + b y + c z - a x + b y = k b 2 + c 2 + a 2 - k a 2 + b 2 ⇒ c z = k c 2 ⇒ k = z c So, from the above, k = x a = y b = z c ∴ x a = y b = z c Hence, proved.

If y + z - x b + c - a = z + x - y c + a - b = x + y - z a + b - c , then show that x a = y b = z c .

Given: y + z - x b + c - a = z + x - y c + a - b = x + y - z a + b - c Let, y + z - x b + c - a = z + x - y c + a - b = x + y - z a + b - c = k y + z - x = k b + c - a - - - - - i z + x - y = k c + a - b - - - - - i i x + y - z = k a + b - c - - - - - i i i Adding i , i i , ⇒ y + z - x + z + x - y = k b + c - a + k c + a - b ⇒ 2 z = 2 k c ⇒ z = k c ∴ k = z c Adding i i , i i i ⇒ z + x - y + x + y - z = k c + a - b + k a + b - c ⇒ 2 x = 2 a k ⇒ x = a k ∴ k = x a Adding i i i , i ⇒ x + y - z + y + z - x = k a + b - c + k b + c - a ⇒ 2 y = 2 b k ⇒ y = b k ∴ k = y b From the above: k = x a = y b = z c ∴ x a = y b = z c Hence, proved.

If a y + z = b z + x = c x + y , then show that a b - c y 2 - z 2 = b c - a z 2 - x 2 = c a - b x 2 - y 2 .

Let: a y + z = b z + x = c x + y = k By alternendo process: a y + z = b - c z + x - x + y ⇒ a y + z = b - c z - y = k - - - - - i b z + x = c - a x + y - y + z ⇒ b x + z = c - a x - z = k - - - - - i i c x + y = a - b y + z - z + x ⇒ c x + y = a - b y - x = k - - - - - i i i Consider: a y + z k = b z + x k = c x + y k ⇒ a y + z × b - c z - y = b z + x × c - a x - z = c x + y × a - b y - x ⇒ a b - c z 2 - y 2 = b c - a x 2 - z 2 = c a - b y 2 - x 2 a b - c - y 2 - z 2 = b c - a - z 2 - x 2 = c a - b - x 2 - y 2 ∴ a b - c y 2 - z 2 = b c - a z 2 - x 2 = c a - b x 2 - y 2 Hence, proved.

If b c x = c a y = a b z , then show that a x + b y a 2 + b 2 = b y + c z b 2 + c 2 = c z + a x c 2 + a 2 .

Given: b c x = c a y = a b z . ⇒ b c x = a c y ; b x = a y ⇒ c a y = a b z ; c y = b z ⇒ b c x = a b z ; c x = a z Therefore, a b b x - a y + b c c y - b z + c a c x - a z = 0 ⇒ a b 2 x - a 2 b y + b c 2 y - b 2 c z + c 2 a x - c a 2 z = 0 ⇒ a b 2 x + b c 2 y + c 2 a x = a 2 b y + b 2 c z + c a 2 z Adding b 3 y on both sides ⇒ a b 2 x + b c 2 y + c 2 a x + b 3 y = a 2 b y + b 2 c z + c a 2 z + b 3 y ⇒ a x b 2 + c 2 + b y b 2 + c 2 = b y a 2 + b 2 + c z a 2 + b 2 ⇒ a x + b y b 2 + c 2 = b y + c z a 2 + b 2 ⇒ a x + b y a 2 + b 2 = b y + c z b 2 + c 2 Similarly, solving for other equations: ∴ a x + b y a 2 + b 2 = b y + c z b 2 + c 2 = c z + a x c 2 + a 2 Hence, proved.

If a y - b x c = c x - a z b = b z - c y a , then prove that x a = y b = z c .

Given: a y - b x c = c x - a z b = b z - c y a ⇒ a y - b x c × c c = c x - a z b × b b = b z - c y a × a a ⇒ a c y - b c x c 2 = c b x - a b z b 2 = b a z - c a y a 2 By addendo we get, ⇒ a c y - b c x + c b x - a b z + b a z - c a y c 2 + b 2 + a 2 ⇒ 0 c 2 + b 2 + a 2 = 0 So, each ratio being equals to zero. a y - b x c = 0 ⇒ a y - b x = 0 ⇒ a y = b x ∴ x a = y b - - - - - i c x - a z b = o ⇒ c x - a z = 0 ⇒ c x = a z ∴ x a = c z - - - - - i i ∴ x a = y b = z c Hence, proved.

If b - c b z + c y = c - a c x + a z = a - b a y + b x = 1 then show that a + b + c x + y + z = a x + b y + c z .

Given, b - c b z + c y = c - a c x + a z = a - b a y + b x = 1 We need to show that a + b + c x + y + z = a x + b y + c z Let's take L.H.S. side, ⇒ a + b + c x + y + z ⇒ a x + a y + a z + b x + b y + b z + c x + c y + c z ⇒ a x + b y + c z + b z + c y + c x + a z + a y + b x ⇒ a x + b y + c z + b z + c y + b z + c y c - a b - c + b z + c y a - b b - c (from the given data) ⇒ a x + b y + c z + 1 b - c b z + c y b - c + b z + c y c - a + b z + c y a - b ⇒ a x + b y + c z + 1 b - c b z b - b z c + c y b - c y c + b z c - b z a + c y c - c y a + b z a - b z b + c y a - c y b ⇒ a x + b y + c z + 1 b - c 0 ⇒ a x + b y + c z = R.H.S Hence, Proved.

If x = 4 a b a + b then show that x + 2 a x - 2 a + x + 2 b x - 2 b = 2 .

Given, x = 4 a b a + b We have to show that x + 2 a x - 2 a + x + 2 b x - 2 b = 2 Put the value x in the above equation we get, ⇒ 4 a b a + b + 2 a 4 a b a + b - 2 a + 4 a b a + b + 2 b 4 a b a + b - 2 b = 2 ⇒ 4 a b + 2 a 2 + 2 a b a + b 4 a b - 2 a 2 - 2 a b a + b + 4 a b + 2 b 2 + 2 a b a + b 4 a b - 2 b 2 - 2 a b a + b = 2 ⇒ 6 a b + 2 a 2 2 a b - 2 a 2 + 6 a b + 2 b 2 2 a b - 2 b 2 = 2 Now take the common terms out from both numerator and denominator, we get, ⇒ 2 a 3 b + a 2 a b - a + 2 b 3 a + b 2 b a - b = 2 ⇒ 3 b + a b - a + 3 a + b a - b = 2 ⇒ 3 b + a b - a - 3 a + b b - a = 2 ⇒ 3 b + a - 3 a - b b - a = 2 ⇒ b - a 3 - 1 b - a = 2 ⇒ 2 = 2 L.H.S. = R.H.S Hence, Proved.