If tan - 1 x + tan - 1 y + tan - 1 z = π 2 , then show that: x y + y z + z x = 1 .

Given that, tan - 1 x + tan - 1 y + tan - 1 z = π 2 To prove: x y + y z + z x = 1 Now, tan - 1 x + tan - 1 y + tan - 1 z = π 2 ⇒ tan - 1 x + y 1 - x y + tan - 1 z = π 2 ⇒ tan - 1 x + y 1 - x y = π 2 - tan - 1 z ⇒ tan - 1 x + y 1 - x y = cot - 1 z ⇒ tan - 1 x + y 1 - x y = tan - 1 1 z ⇒ x + y 1 - x y = 1 z ⇒ x z + y z = 1 - x y ⇒ x z + y z + x y = 1 ⇒ x y + y z + x z = 1 Hence, proved.

If r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , then show that: tan - 1 y z x r + tan - 1 z x y r + tan - 1 x y z r = π 2 .

Given that, r 2 = x 2 + y 2 + z 2 To prove: tan - 1 y z x r + tan - 1 z x y r + tan - 1 x y z r = π 2 Now, consider LHS = tan - 1 y z x r + tan - 1 z x y r + tan - 1 x y z r = tan - 1 y z x r + z x y r 1 - y z x r × z x y r + tan - 1 x y z r ∵ tan - 1 x + tan - 1 y = tan - 1 x + y 1 - x y , x y < 1 = tan - 1 y 2 r z + x 2 r z x r y r x r y r - x y z 2 x r y r + tan - 1 x y z r = tan - 1 y 2 z r + x 2 z r x y r 2 - x y z 2 + tan - 1 x y z r = tan - 1 r z x 2 + y 2 x y r 2 - z 2 + tan - 1 x y z r = tan - 1 r z x 2 + y 2 x y x 2 + y 2 + tan - 1 x y z r [Using r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ] = tan - 1 r z x y + tan - 1 x y z r = cot - 1 x y z r + tan - 1 x y z r [Using tan - 1 1 x = cot - 1 x ; x > 0 ] = π 2 [Using tan - 1 x + cot - 1 x = π 2 ; x ∈ R ] Hence, proved.

In a triangle A B C if m ∠ A = 90 0 , then prove that tan - 1 b a + c + tan - 1 c a + b = π 4 , where a , b , c are sides of the triangle.

Given that, in a triangle A B C , we have: m ∠ A = 90 0 So, using Pythagoras theorem we have: B C 2 = A C 2 + A B 2 i.e., a 2 = b 2 + c 2 → 1 , where a , b , c = sides of the triangle To prove: tan - 1 b a + c + tan - 1 c a + b = π 4 Now, consider LHS = tan - 1 b a + c + tan - 1 c a + b = tan - 1 b a + c + c a + b 1 - b a + c × c a + b ∵ tan - 1 x + tan - 1 y = tan - 1 x + y 1 - x y , x y < 1 = tan - 1 b a + b + c a + c a + b a + c a + b a + c - b c a + b a + c = tan - 1 b a + b + c a + c a + b a + c - b c = tan - 1 a b + b 2 + a c + c 2 a 2 + a c + a b + b c - b c = tan - 1 a b + a 2 + a c a 2 + a c + a b [Using 1 ] = tan - 1 1 = tan - 1 tan π 4 = π 4 Hence, proved.

Solve: cos 2 sin - 1 x = 1 9 .

Given that, cos 2 sin - 1 x = 1 9 Let sin - 1 x = θ ⇒ x = sin θ Therefore, cos 2 θ = 1 9 ⇒ 1 - 2 sin 2 θ = 1 9 ⇒ 1 - 2 x 2 = 1 9 ⇒ 2 x 2 = 1 - 1 9 ⇒ x 2 = 4 9 ⇒ x = ± 2 3 Hence, the value of x = ± 2 3 .

Solve: sin - 1 x + sin - 1 ( 1 - x ) = π 2 .

Given that, sin - 1 x + sin - 1 ( 1 - x ) = π 2 Let x = sin y Therefore, sin - 1 sin y + sin - 1 ( 1 - sin y ) = π 2 ⇒ y + sin - 1 ( 1 - sin y ) = π 2 ⇒ sin - 1 ( 1 - sin y ) = π 2 - y ⇒ ( 1 - sin y ) = sin π 2 - y ⇒ ( 1 - sin y ) = cos y ⇒ ( 1 - sin y ) 2 = cos 2 y ⇒ 1 + sin 2 y - 2 sin y = cos 2 y ⇒ 1 + sin 2 y - 2 sin y = 1 - sin 2 y ⇒ 2 sin 2 y - 2 sin y = 0 ⇒ 2 sin y sin y - 1 = 0 ⇒ sin y = 0 or sin y - 1 = 0 ⇒ x = 0 or x = 1 Hence, the values of x are : 0 or 1 .

Solve: tan - 1 x - 1 x - 2 + tan - 1 x + 1 x + 2 = π 4 .

Given that, tan - 1 x - 1 x - 2 + tan - 1 x + 1 x + 2 = π 4 ⇒ tan - 1 x - 1 x - 2 + x + 1 x + 2 1 - x - 1 x - 2 × x + 1 x + 2 = π 4 [Using tan - 1 x + tan - 1 y = tan - 1 x + y 1 - x y ; x y < 1 ] ⇒ tan - 1 x 2 + 2 x - x - 2 + x 2 + x - 2 x - 2 x 2 - 4 - x 2 + 1 = π 4 ⇒ tan - 1 x 2 - 4 + x 2 - 3 = π 4 ⇒ x 2 - 4 + x 2 - 3 = tan π 4 ⇒ 2 x 2 - 4 - 3 = 1 ⇒ 2 x 2 = - 3 + 4 ⇒ 2 x 2 = 1 ⇒ x = ± 1 2 Thus, the required solution x = ± 1 2 .