If tan - 1 x 2 - y 2 x 2 + y 2 = a , prove that d y d x = x y 1 - tan a 1 + tan a ?

Given that, tan - 1 x 2 - y 2 x 2 + y 2 = a ⇒ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = tan a ⇒ x 2 - y 2 = tan a x 2 + y 2 Differentiating with respect to x , ⇒ d d x x 2 - y 2 = tan a d d x x 2 + y 2 ⇒ 2 x - 2 y d y d x = tan a 2 x + 2 y d y d x ⇒ 2 x - 2 y d y d x = 2 x tan a + 2 y tan a d y d x ⇒ 2 y tan a d y d x + 2 y d y d x = 2 x - 2 x tan a ⇒ 2 y 1 + tan a d y d x = 2 x 1 - tan a ⇒ d y d x = x y 1 - tan a 1 + tan a Hence, proved

If tan - 1 x 2 - y 2 x 2 + y 2 = a , prove that d y d x = x y 1 - tan a 1 + tan a ?

Given that, tan - 1 x 2 - y 2 x 2 + y 2 = a ⇒ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = tan a ⇒ x 2 - y 2 = tan a x 2 + y 2 Differentiating with respect to x , ⇒ d d x x 2 - y 2 = tan a d d x x 2 + y 2 ⇒ 2 x - 2 y d y d x = tan a 2 x + 2 y d y d x ⇒ 2 x - 2 y d y d x = 2 x tan a + 2 y tan a d y d x ⇒ 2 y tan a d y d x + 2 y d y d x = 2 x - 2 x tan a ⇒ 2 y 1 + tan a d y d x = 2 x 1 - tan a ⇒ d y d x = x y 1 - tan a 1 + tan a Hence, proved

If x y log x + y = 1 , Prove that d y d x = - y x 2 y + x + y x x y 2 + x + y ?

Given that, xy log x + y = 1 Differentiating it with respect to x , ⇒ d d x x y log x + y = d d x 1 We know that, from product rule of differentiation d d x u v w = u ' v w + u v ' w + u v w ' and d d x constant = 0 . ⇒ x y d d x log x + y + x log x + y d y d x + y log x + y d d x x = 0 ⇒ x y 1 x + y d d x x + y + x log x + y d y d x + y log x + y 1 = 0 ⇒ x y x + y 1 + d y d x + x log x + y d y d x + y log x + y = 0 ⇒ x y x + y d y d x + x y x + y + x 1 x y d y d x + y 1 x y = 0 ∵ x y log x + y = 1 ⇒ d y d x x y x + y + 1 y = - 1 x + x y x + y ⇒ d y d x x y 2 + x + y x + y y = - x + y + x 2 y x x + y ⇒ d y d x = - x + y + x 2 y x x + y y x + y x y 2 + x + y ⇒ d y d x = - y x x + y + x 2 y x + y + x y 2 Hence, proved.

If y = x sin a + y , Prove that d y d x = sin 2 a + y sin a + y - y cos a + y ?

Given that, y = x sin a + y Differentiate with respect to x , we get d y d x = d d x x sin a + y ⇒ d y d x = x d d x sin a + y + sin a + y d d x x . . . . . . . . . . [using product rule of differentiation ] ⇒ d y d x = x cos a + y d d x a + y + sin a + y 1 ⇒ d y d x 1 - x cos a + y = sin a + y ⇒ d y d x = sin a + y 1 - x cos a + y ⇒ d y d x = sin a + y 1 - y sin a + y cos a + y ∵ y = x sin a + y ⇒ d y d x = sin 2 a + y sin a + y - y cos a + y Hence, proved

If x sin a + y + sin a cos a + y = 0 Prove that d y d x = sin 2 a + y sin a ?

Given that, x · sin ( a + y ) + sin a · cos ( a + y ) = 0 ⇒ x · sin ( a + y ) = - sin a · cos ( a + y ) ⇒ ∴ x = - sin a · cos ( a + y ) sin ( a + y ) ⇒ x = - sin a · cot ( a + y ) Differentiating w.r.t y we get, ⇒ d x d y = - sin a · - cosec 2 ( a + y ) ∴ d x d y = sin a · cosec 2 ( a + y ) ⇒ d x d y = sin a sin 2 ( a + y ) ∴ d y d x = sin 2 ( a + y ) sin a Hence proved

If y = x sin y , Prove that d y d x = sin y 1 - x cos y ?

Given that, y = x sin y Differentiating with respect to x , we get d y d x = d d x x sin y ⇒ d y d x = x d d x sin y + sin y d d x x ⇒ d y d x = x cos y d y d x + sin y ⇒ d y d x 1 - x cos y = sin y ⇒ d y d x = sin y 1 - x cos y Hence, proved.

If y x 2 + 1 = log x 2 + 1 - x ,Show that x 2 + 1 d y d x + x y + 1 = 0 ? ?

Given that, y x 2 + 1 = log x 2 + 1 - x Differentiating with respect to x , we get ⇒ d d x y x 2 + 1 = d d x log x 2 + 1 - x Using product rule and chain rule ⇒ y d d x x 2 + 1 + x 2 + 1 d y d x = 1 x 2 + 1 - x × d d x x 2 + 1 - x ⇒ y 2 x 2 + 1 × d d x x 2 + 1 + x 2 + 1 d y d x = 1 x 2 + 1 - x × 1 2 x 2 + 1 d d x x 2 + 1 - 1 ⇒ 2 x y 2 x 2 + 1 + x 2 + 1 d y d x = 1 x 2 + 1 - x 2 x 2 x 2 + 1 - 1 ⇒ x 2 + 1 d y d x = 1 x 2 + 1 - x x - x 2 + 1 x 2 + 1 - x y x 2 + 1 ⇒ x 2 + 1 d y d x = - 1 x 2 + 1 - x y x 2 + 1 ⇒ x 2 + 1 d y d x = - 1 + x y x 2 + 1 ⇒ x 2 + 1 d y d x = - 1 + x y ⇒ x 2 + 1 d y d x + 1 + x y = 0 Hence, showed.

If sin x y + y x = x 2 - y 2 , find d y d x ?

Given that, sin x y + y x = x 2 - y 2 Differentiating with respect to x , we get ⇒ d d x sin x y + d d x y x = d d x x 2 - d d x y 2 ⇒ cos x y d d x x y + x d y d x - y d d x x x 2 = 2 x - 2 y d y d x ⇒ cos x y x d y d x + y d d x x + x d y d x - y 1 x 2 = 2 x - 2 y d y d x ⇒ cos x y x d y d x + y 1 + 1 x 2 x d y d x - y = 2 x - 2 y d y d x ⇒ x cos x y d y d x + y cos x y + 1 x d y d x - y x 2 = 2 x - 2 y d y d x ⇒ d y d x x cos x y + 1 x + 2 y = y x 2 - y cos x y + 2 x ⇒ d y d x x 2 cos x y + 1 + 2 x y x = 1 x 2 y - x 2 y cos x y + 2 x 3 Thus, d y d x = 2 x 3 + y - x 2 y cos x y x x 2 cos x y + 1 + 2 x y

If tan x + y + tan x - y = 1 , find d y d x ?

Given that, tan x + y + tan x - y = 1 Differentiating with respect to x , we get ⇒ d d x tan x + y + d d x tan x - y = d d x 1 ⇒ sec 2 x + y d d x x + y + sec 2 x - y d d x x - y = 0 ⇒ sec 2 x + y 1 + d y d x + sec 2 x - y 1 - d y d x = 0 ⇒ sec 2 x + y d y d x - sec 2 x - y d y d x = - sec 2 x + y + sec 2 x - y ⇒ d y d x sec 2 x + y - sec 2 x - y = - sec 2 x + y + sec 2 x - y Thus, d y d x = sec 2 x + y + sec 2 x - y sec 2 x - y - sec 2 x + y .

If e x + e y = e x + y , prove that d y d x = - e x e y - 1 e y e x - 1

Given that, e x + e y = e x + y Differentiating with respect to x , we get ⇒ e x + e y d y d x = e x + y 1 + d y d x ⇒ e x + e y d y d x = e x + y + e x + y d y d x ⇒ e y d y d x - e x + y d y d x = e x + y - e x ⇒ d y d x e y - e x + y = e x + y - e x ⇒ d y d x = e x + y - e x e y - e x + y = e x e y - 1 e y 1 - e x = - e x e y - 1 e y e x - 1 Hence, proved.