If x = tan ⁡ 1 a log ⁡ y , then show that 1 + x 2 y 2 + ( 2 x − a ) y 1 = 0 .

Given: x = tan ⁡ 1 a log ⁡ y ⇒ tan − 1 ⁡ x = 1 a log ⁡ y ∵ tan - 1 tan θ = θ ⇒ a tan − 1 ⁡ x = log ⁡ y Differentiating both sides w.r.t x , we get: ⇒ a 1 + x 2 = 1 y ⋅ d y d x ⇒ d y d x = a y 1 + x 2 ⇒ 1 + x 2 d y d x = a y Again differentiating both sides w.r.t x , we get: ⇒ 1 + x 2 d 2 y d x 2 + 2 x ⋅ d y d x = a ⋅ d y d x ⇒ 1 + x 2 d 2 y d x 2 + ( 2 x − a ) d y d x = 0 or 1 + x 2 y 2 + ( 2 x − a ) y 1 = 0 . Hence proved.

If y = cos ⁡ 2 sin − 1 ⁡ x , prove that 1 − x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + 4 = 0 .

Given: y = cos ⁡ 2 sin − 1 ⁡ x Differentiate w.r.t x , we get: d y d x = − sin ⁡ 2 sin − 1 ⁡ x × 2 1 1 − x 2 = − 2 1 1 − x 2 sin ⁡ sin − 1 ⁡ 2 x 1 − x 2 ∵ 2 sin - 1 A = sin − 1 ⁡ 2 A 1 − A 2 = − 2 1 1 − x 2 2 x 1 − x 2 ∵ sin sin - 1 A = A = - 4 x Again differentiate w.r.t x , we get: d 2 y d x 2 = - 4 Consider, 1 − x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + 4 = 1 − x 2 ( − 4 ) + x ( − 4 x ) + 4 = - 4 + 4 x 2 - 4 x 2 + 4 = 0 Hence proved.

If x = sin ⁡ t and y = sin ⁡ k t , then show that 1 − x 2 d 2 y d x 2 − x d y d x + k 2 y = 0 .

Given: x = sin ⁡ t and y = sin ⁡ k t Differentiating both sides w.r.t t , we get: d x d t = cos ⁡ t and d y d t = k cos ⁡ k t Now, d y d x = d y d t d x d t = k cos k t cos t Now, differentiating both sides w.r.t x , we get: d 2 y d x 2 = k × [ cos ⁡ t ( − k sin ⁡ k t ) − cos ⁡ k t ( − sin ⁡ t ) ] cos 2 ⁡ t × d t d x ⇒ d 2 y d x 2 = k [ cos ⁡ k t ⋅ sin ⁡ t − cos ⁡ t sin ⁡ k t × k ] cos 2 ⁡ t × 1 cos ⁡ t ⇒ cos 2 ⁡ t d 2 y d x 2 = k cos ⁡ k t sin ⁡ t − k 2 cos ⁡ t sin ⁡ k t cos ⁡ t ⇒ 1 − sin 2 ⁡ t d 2 y d x 2 = k cos ⁡ k t cos ⁡ t sin ⁡ t − k 2 sin ⁡ k t ∵ sin 2 A + cos 2 A = 1 ⇒ 1 − x 2 d 2 y d x 2 = d y d x x − k 2 y ∵ d y d x = k cos ⁡ k t cos ⁡ t , x = sin ⁡ t and y = sin ⁡ k t ∴ 1 − x 2 d 2 y d x 2 − x d y d x + k 2 y = 0 Hence proved.