Prove that: 1 2 cos − 1 x = sin − 1 1 − x 2 = cos − 1 1 + x 2 = tan − 1 1 − x 2 1 + x

Let A = sin 1 2 cos − 1 x Put cos − 1 x = θ ⇒ cos θ = x So, A = sin θ 2 ∵ cos 2 A = 1 - 2 sin 2 A ⇒ A = 1 − cos θ 2 = 1 − x 2 ⇒ sin 1 2 cos − 1 x = 1 − x 2 ⇒ 1 2 cos − 1 x = sin − 1 1 − x 2 And, let B = cos 1 2 cos − 1 x Put cos − 1 x = α ⇒ cos α = x So, B = cos α 2 ∵ cos 2 A = 2 cos 2 A - 1 ⇒ B = 1 + cos α 2 = 1 + x 2 ⇒ cos 1 2 cos − 1 x = 1 + x 2 ⇒ 1 2 cos − 1 x = cos − 1 1 + x 2 And, let C = tan 1 2 cos − 1 x Put cos − 1 x = β ⇒ cos β = x So, C = tan β 2 ⇒ C = 1 − cos β 1 + cos β = 1 − x 1 + x ∵ tan A = 1 - cos 2 A 1 + cos 2 A ⇒ tan 1 2 cos − 1 x = 1 − x 1 + x ⇒ 1 2 cos − 1 x = tan - 1 1 − x 1 + x 1 + x 1 + x ⇒ 1 2 cos − 1 x = tan - 1 1 − x 2 1 + x

Prove that : sin - 1 x + cos - 1 y = tan - 1 x y + 1 - x 2 1 - y 2 y 1 - x 2 - x 1 - y 2

L . H . S = sin - 1 x + cos - 1 y = tan - 1 x 1 - x 2 + tan - 1 1 - y 2 y = tan - 1 x 1 - x 2 + 1 - y 2 y 1 - x 1 - y 2 y 1 - x 2 Since, tan - 1 x + tan - 1 y = tan - 1 x + y 1 - x y ; x y < 1 = tan - 1 x y + 1 - x 2 1 - y 2 y 1 - x 2 - x 1 - y 2

Prove that : tan - 1 x + tan - 1 y = 1 2 sin - 1 2 x + y 1 - x y 1 + x 2 1 + y 2

LHS = tan - 1 x + tan - 1 y = tan - 1 x + y 1 - x y = 1 2 sin - 1 2 x + y 1 - x y 1 + x + y 1 - x y 2 ∵ tan - 1 x = 1 2 sin - 1 2 x 1 + x 2 ; x ∈ - 1 , 1 = 1 2 sin - 1 2 x + y 1 - x y 1 - x y 2 + x + y 2 = 1 2 sin - 1 2 x + y 1 - x y 1 + x 2 y 2 - 2 x y + x 2 + y 2 + 2 x y = 1 2 sin - 1 2 x + y 1 - x y 1 + x 2 y 2 + 1 + y 2 = 1 2 sin - 1 2 x + y 1 - x y 1 + x 2 1 + y 2

Prove that cos tan - 1 sin cot - 1 x = x 2 + 1 x 2 + 2

L . H . S . = cos tan - 1 sin cot - 1 x = cos tan - 1 sin tan - 1 1 x = cos tan - 1 sin sin - 1 1 x 1 + 1 x 2 = cos tan - 1 1 1 + x 2 = cos cos - 1 1 1 + 1 1 + x 2 2 = cos cos - 1 1 + x 2 1 + x 2 + 1 = x 2 + 1 x 2 + 2 = R . H . S . Hence, proved.

If tan - 1 x + tan - 1 y + tan - 1 z = π 2 , then prove that x y + y z + z x = 1 .

Given, tan - 1 x + tan - 1 y + tan - 1 z = π 2 Let, tan - 1 x = α , tan - 1 y = β , tan - 1 z = γ ⇒ x = tan α , y = tan β , z = tan γ ∴ α + β + γ = π 2 ⇒ α + β = π 2 - γ ⇒ tan α + β = tan π 2 - γ ⇒ tan α + tan β 1 - tan α tan β = cot γ ⇒ tan α + tan β 1 - tan α tan β = 1 tan γ ⇒ tan α tan γ + tan β tan γ = 1 - tan α tan β tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1 ⇒ x y + y z + z x = 1 Hence, proved.

If sin - 1 x + sin - 1 y = π 2 . Prove that x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1

We have, sin - 1 x + sin - 1 y = π 2 ⇒ sin - 1 x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = π 2 Since, sin - 1 x + sin - 1 y = sin - 1 x 1 - y 2 + y 1 - x 2 where, x , y ≥ 0 and x 2 + y 2 ≤ 1 ⇒ x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = sin π 2 ⇒ x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1

Prove that: sin - 1 3 5 - sin - 1 8 17 = c o s - 1 84 75

L.H.S. = sin - 1 3 5 - sin - 1 8 17 = sin - 1 3 5 1 - 8 17 2 - 8 17 1 - 3 5 2 = sin - 1 3 5 1 - 64 289 - 8 17 1 - 9 25 = sin - 1 3 5 225 289 - 8 17 16 25 = sin - 1 3 5 × 15 17 - 8 17 × 4 5 = sin - 1 45 - 32 85 = sin - 1 13 85 Let sin - 1 13 85 = A ⇒ A = sin 13 85 , A ∈ 0 , π 2 ∵ sin A > 0 ∴ cos A = 1 - sin 2 A = 1 - 13 85 2 = 7225 - 169 7225 = 84 85 ∵ cos A > 0 ∀ A ∈ 0 , π 2 ⇒ A = cos - 1 84 85 ∴ sin - 1 3 5 - sin - 1 8 17 = cos - 1 84 85 . Hence proved.

Prove that: cos - 1 4 5 + cos - 1 12 13 = cos - 1 33 65

To prove: cos - 1 4 5 + cos - 1 12 13 = cos - 1 33 65 LHS = cos - 1 4 5 + cos - 1 12 13 = cos - 1 4 5 · 12 13 - 1 - 16 25 1 - 144 196 cos - 1 48 65 - 3 5 · 5 13 cos - 1 33 65 Hence, proved

Find the value of sin - 1 sin 3 π 5 .

Consider the given expression sin - 1 sin 3 π 5 L e t , x = sin - 1 sin 3 π 5 Now, the range of principal value of sin - 1 is - π 2 , π 2 ∴ x = 3 π 5 i s n o t p o s s i b l e So, sin x = sin 3 π 5 sin x = sin π - 3 π 5 ∴ sin x = sin 2 π 5 Since, the above value of x in the range of principal value Hence, sin - 1 sin 3 π 5 = 2 π 5

Prove that sin - 1 5 13 + cos - 1 3 5 = tan - 1 63 16

We have to show: sin - 1 5 13 + cos - 1 3 5 = tan - 1 63 16 Let, sin - 1 5 13 = x ⇒ sin x = 5 13 And cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - 25 169 = 144 169 ⇒ cos x = 144 169 = 12 13 ∴ tan x = sin x cos x = 5 13 12 13 = 5 12 Again, let cos - 1 3 5 = y ⇒ cos y = 3 5 ∴ sin y = 1 - cos 2 y = 1 - 3 5 2 = 1 - 9 25 ⇒ sin y = 16 25 = 4 5 ⇒ tan y = sin y cos y = 4 5 3 5 = 4 3 We know that, tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 - tan x tan y ∴ tan ( x + y ) = 5 12 + 4 3 1 - 5 12 4 3 ⇒ tan ( x + y ) = 5 + 16 12 36 - 20 36 ⇒ tan ( x + y ) = 21 × 3 16 ⇒ tan ( x + y ) = 63 16 ⇒ x + y = tan - 1 63 16 ⇒ sin - 1 5 13 + cos - 1 3 5 = tan - 1 63 16 Hence, proved.

If sin - 1 x + sin - 1 y + sin - 1 z = π , then prove that x 1 - x 2 + y 1 - y 2 + z 1 - z 2 = 2 x y z

We are given, sin - 1 x + sin - 1 y + sin - 1 z = π Let, sin − 1 x = A ⇒ sin A = x sin - 1 y = B ⇒ sin B = y sin − 1 z = C ⇒ sin C = z . Here, A , B , C ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] ∴ A + B + C = π . . . . . ( 1 ) Now, L H S = x 1 - x 2 + y 1 - y 2 + z 1 - z 2 = 2 x y z = sin A . 1 − sin 2 A + sin B 1 − sin 2 B + sin C . 1 − sin 2 C = sin A . cos A + sin B cos B + sin C . cos C [Multiply & Divide by 2 ] = 2 2 [ sin A cos A + sin B cos B ] + sin C . cos C = [ 2 sin A cos A + 2 sin B cos B ] 2 + sin C . cos C ∵ 2 sin θ cos θ = sin 2 θ = ( sin A + sin 2 B ) 2 + sin C . cos C = 2 sin 2 A + 2 B 2 cos 2 A − 2 B 2 2 + sin C . cos C = sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C . cos C = sin ( π − C ) cos ( A − B ) + sin C . cos ( π − ( A + B ) ) = sin C [ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ] = sin C [ − 2 sin ( − 2 B 2 ) sin ( 3 A 2 ) ] = 2 sin A sin B sin C = 2 x y z = R H S .