Prove that cos - 1 a - x a - b = sin - 1 x - b a - b if a > x > b or, a < x < b .

Here, L . H . S . = cos - 1 a - x a - b As we know, cos - 1 x = sin - 1 1 - x 2 ⇒ cos - 1 a - x a - b = sin - 1 1 - a - x a - b 2 ⇒ sin - 1 1 - a - x a - b ⇒ sin - 1 a - b - a + x a - b ⇒ sin - 1 x - b a - b = R . H . S . .

Prove that cos - 1 a - x a - b = sin - 1 x - b a - b if a > x > b or, a < x < b .

Here, L . H . S . = cos - 1 a - x a - b As we know, cos - 1 x = sin - 1 1 - x 2 ⇒ cos - 1 a - x a - b = sin - 1 1 - a - x a - b 2 ⇒ sin - 1 1 - a - x a - b ⇒ sin - 1 a - b - a + x a - b ⇒ sin - 1 x - b a - b = R . H . S . .

Prove that sin cos - 1 tan sec - 1 x = 2 - x 2 .

Given, L . H . S . = sin cos - 1 tan sec - 1 x ⇒ sin cos - 1 tan tan - 1 x 2 - 1 ⇒ sin cos - 1 x 2 - 1 ⇒ sin cos - 1 x 2 - 1 ⇒ sin sin - 1 1 - x 2 - 1 2 ⇒ sin sin - 1 1 - x 2 + 1 ⇒ sin sin - 1 2 - x 2 ⇒ 2 - x 2 = R . H . S . .

Solve: sin - 1 3 x 5 + cos - 1 4 x 5 = sin - 1 x

sin - 1 3 x 5 = A sin - 1 4 x 5 = B sinA = 3 x 5 , sinB = 4 x 5 cosA = 25 - 9 x 2 5 ; cosB = 25 - 16 x 2 5 Given that A + B = sin - 1 ( x ) sin ( A + B ) = x sinAcosB + cosA · sinB = x 3 x 5 × 25 - 16 x 2 5 + 25 - 9 x 2 5 × 4 x 5 = x 3 x 25 - 16 x 2 + 4 x 25 - 9 x 2 = 25 x Dividing by ' x ' 3 25 - 16 x 2 + 4 25 - 9 x 2 = 25 3 25 - 16 x 2 = 25 - 4 25 - 9 x 2 S.O.B.S 9 25 - 16 ( x 2 = 625 - 16 25 - 9 x 2 - 200 225 - 144 x 2 = 625 + 400 - 144 x 2 - 200 25 - 9 x 2 225 = 1025 - 200 25 - 9 x 2 - 800 = - 200 25 - 9 x 2 4 = 25 - 9 x 2 Squaring 16 = 25 - 9 x 2 - 9 = - 9 x 2 x 2 = 1 x = ± 1 x = 1 or - 1 x ⇒ lies in between - 1 , 0 , 1

Solve tan - 1 x + 1 x - 1 + tan - 1 x - 1 x = - tan - 1 7

Given that tan - 1 x + 1 x - 1 + tan - 1 x - 1 x = - tan - 1 7 We know that, tan - 1 A + tan - 1 B = tan - 1 A + B 1 - A B tan - 1 x + 1 x - 1 + x - 1 x 1 - x + 1 x - 1 · x - 1 x = tan - 1 ( - 7 ) Taking tangent on both sides tan tan - 1 x + 1 x - 1 + x - 1 x 1 - x + 1 x - 1 · x - 1 x = tan tan - 1 ( - 7 ) Using property tan tan - 1 A = A x 2 + x + x 2 - 2 x + 1 x 2 - x - x 2 + 1 = - 7 ⇒ 2 x 2 - x + 1 1 - x = - 7 ⇒ 2 x 2 - x + 1 = - 7 + 7 x ⇒ x 2 - 4 x + 4 = 0 ⇒ ( x - 2 ) 2 = 0 ⇒ x = 2

Solve: tan - 1 1 a - 1 = tan - 1 1 x + tan - 1 1 a 2 - x + 1

tan - 1 1 a - 1 - tan - 1 1 x = tan - 1 1 a 2 - x + 1 Using identity tan - 1 A - tan - 1 B = tan - 1 A - B 1 + A B tan - 1 1 a - 1 - 1 x 1 + 1 a - 1 1 x = tan - 1 1 a 2 - x + 1 ⇒ x - a + 1 a - 1 x + 1 = 1 a 2 - x + 1 ⇒ x - a + 1 a 2 - x + 1 = a - 1 x + 1 ⇒ a 2 + 1 x - x 2 + 1 - a a 2 + 1 - 1 - a x = a - 1 x + 1 ⇒ a 2 + 1 x - x 2 + a 2 + 1 - a 3 - a = 1 ⇒ x 2 - 1 + a 2 x + a 3 - a 2 + a = 0 ⇒ x 2 - 1 + a 2 x + a a 2 - a + 1 = 0 ⇒ x 2 - a 2 - a + 1 + a x + a a 2 - a + 1 = 0 ⇒ x - a x - a 2 - a + 1 = 0 ⇒ x = a or x = a 2 - a + 1

To solve cos - 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 + tan - 1 ⁡ 2 x x 2 - 1 = 2 π 3

Let cos - 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 = θ , or cos ⁡ θ = x 2 - 1 x 2 + 1 ∴ tan ⁡ θ = x 2 + 1 2 - x 2 - 1 2 x 2 - 1 = 2 x x 2 - 1 ⇒ θ = tan - 1 ⁡ 2 x x 2 - 1 Given, cos - 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 + tan - 1 ⁡ 2 x x 2 - 1 = 2 π 3 ∴ tan - 1 ⁡ 2 x x 2 - 1 + tan - 1 ⁡ 2 x x 2 - 1 = 2 π 3 ⇒ tan - 1 ⁡ 2 x x 2 - 1 = 1 3 π 2 x x 2 - 1 = tan ⁡ π 3 = 3 3 x 2 - 2 x - 3 = 0 3 x 2 - 3 x + x - 3 = 0 3 x + 1 x - 3 = 0 ∴ x = 3 , - 1 3

If θ = tan - 1 x 3 2 k - x and ϕ = tan - 1 2 x - k k 3 , show that one value of θ - ϕ is π 6 .

Given that, θ = tan - 1 x 3 2 k - x a n d ϕ = tan - 1 2 x - k k 3 . Now θ - ϕ tan - 1 x 3 2 k - x - tan - 1 2 x - k k 3 . tan - 1 ( x 3 2 k - x - 2 x - k k 3 1 + x 3 2 k - x × 2 x - k k 3 ) . Take Individual L.C.M of Numerator and Denominator tan - 1 ( 3 k x - ( 2 x - k ) ( 2 k - x ) k 3 ( 2 k - x ) ( 2 k - x ) k 3 + x 3 ( 2 x - k ) k 3 ( 2 k - x ) ) tan - 1 ( 3 k x - 4 k x + 2 x 2 + 2 k 2 - k x 2 3 k 2 - k x 3 + 2 x 2 3 - k x 3 ) tan - 1 ( 2 ( x 2 + k 2 - k x ) 2 3 ( x 2 + k 2 - k x ) tan - 1 ( 1 3 ) 30 ∘ Hence θ - ϕ = π 6 . Proved..

If sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b , then prove that b 2 x 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 + a 2 y 2 = c 4 .

Given that, sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b and To prove: b 2 x 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 + a 2 y 2 = c 4 Consider, sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b ⇒ sin - 1 x a = sin - 1 c 2 a b - sin - 1 y b ⇒ x a = sin sin - 1 c 2 a b - sin - 1 y b ⇒ x a = sin sin - 1 c 2 a b cos sin - 1 y b - cos sin - 1 c a b sin sin - 1 y b [Using sin A - B = sin A cos B - cos A sin B ] ⇒ x a = c 2 a b cos cos - 1 1 - y 2 b 2 - cos cos - 1 1 - c 4 a 2 b 2 · y b [Using sin - 1 sin x = x ; x ∈ - π 2 , π 2 and sin - 1 x = cos - 1 1 - x 2 ] ⇒ x a = c 2 a b · 1 - y 2 b 2 - 1 - c 4 a 2 b 2 · y b ⇒ x a + y b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 2 a b 1 - y 2 b 2 ⇒ x a + y b 1 - c 4 a 2 b 2 2 = c 2 a b 1 - y 2 b 2 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 1 - c 4 a 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 1 - y 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 - y 2 b 2 · c 4 a 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 - c 4 a 2 b 2 · y 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 ⇒ b 2 x 2 + a 2 y 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 = c 4 [Multiplied both sides with a 2 b 2 ] Hence, proved.

If sin - 1 x + sin - 1 y + sin - 1 z = π , then prove that x 1 - x 2 + y 1 - y 2 + z 1 - z 2 = 2 x y z

We are given, sin - 1 x + sin - 1 y + sin - 1 z = π Let, sin − 1 x = A ⇒ sin A = x sin - 1 y = B ⇒ sin B = y sin − 1 z = C ⇒ sin C = z . Here, A , B , C ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] ∴ A + B + C = π . . . . . ( 1 ) Now, L H S = x 1 - x 2 + y 1 - y 2 + z 1 - z 2 = 2 x y z = sin A . 1 − sin 2 A + sin B 1 − sin 2 B + sin C . 1 − sin 2 C = sin A . cos A + sin B cos B + sin C . cos C [Multiply & Divide by 2 ] = 2 2 [ sin A cos A + sin B cos B ] + sin C . cos C = [ 2 sin A cos A + 2 sin B cos B ] 2 + sin C . cos C ∵ 2 sin θ cos θ = sin 2 θ = ( sin A + sin 2 B ) 2 + sin C . cos C = 2 sin 2 A + 2 B 2 cos 2 A − 2 B 2 2 + sin C . cos C = sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C . cos C = sin ( π − C ) cos ( A − B ) + sin C . cos ( π − ( A + B ) ) = sin C [ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ] = sin C [ − 2 sin ( − 2 B 2 ) sin ( 3 A 2 ) ] = 2 sin A sin B sin C = 2 x y z = R H S .