Prove that cot - 1 a b + 1 a - b + cot - 1 b c + 1 b - c + cot - 1 c a + 1 c - a = 0 .

We know that cot - 1 x y + 1 x - y = cot - 1 x - cot - 1 y . By LHS, cot - 1 a b + 1 a - b + cot - 1 b c + 1 b - c + cot - 1 c a + 1 c - a = cot - 1 a - cot - 1 b + cot - 1 b - cot - 1 c + cot - 1 c - cot - 1 a = 0 = RHS Hence proved.

Prove that cot - 1 a b + 1 a - b + cot - 1 b c + 1 b - c + cot - 1 c a + 1 c - a = 0 .

We know that cot - 1 x y + 1 x - y = cot - 1 x - cot - 1 y . By LHS, cot - 1 a b + 1 a - b + cot - 1 b c + 1 b - c + cot - 1 c a + 1 c - a = cot - 1 a - cot - 1 b + cot - 1 b - cot - 1 c + cot - 1 c - cot - 1 a = 0 = RHS Hence proved.

Prove that cos 2 tan - 1 1 7 = sin 4 tan - 1 1 3 .

Let tan - 1 1 7 = θ ⇒ tan θ = 1 7 ∴ cos 2 θ = 1 - tan 2 θ 1 + tan 2 θ = 1 - 1 7 2 1 + 1 7 2 = 24 25 ⇒ cos 2 tan - 1 1 7 = 24 25 = L H S Again, let tan - 1 1 3 = ϕ ⇒ tan ϕ = 1 3 ∴ tan 2 ϕ = 2 tan ϕ 1 - tan ϕ 2 = 2 3 1 - 1 9 = 2 3 8 9 = 2 3 × 9 8 = 3 4 Now, sin 4 ϕ = 2 tan 2 ϕ 1 + tan 2 2 ϕ = 2 × 3 4 1 + 9 16 = 3 2 25 16 = 3 2 × 16 25 = 24 25 ⇒ sin 4 tan - 1 1 3 = 24 25 = R H S Since, L H S = R H S , hence proved.

Prove that 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ 45 ° - α tan ⁡ 1 2 β = cos - 1 ⁡ sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β 1 + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β .

We have L.H.S. = 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ 45 ° - α tan ⁡ 1 2 β Let tan - 1 ⁡ tan ⁡ 45 ° - α tan ⁡ 1 2 β = θ ⇒ tan θ = tan ⁡ 45 ° - α tan ⁡ 1 2 β = tan ⁡ 45 ° - tan ⁡ α 1 + tan ⁡ 45 ° tan ⁡ α 1 - cos ⁡ β 1 + cos ⁡ β = cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α 1 - cos ⁡ β 1 + cos ⁡ β ⇒ tan 2 ⁡ θ = cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α 2 1 - cos ⁡ β 1 + cos ⁡ β = 1 - sin ⁡ 2 α 1 + sin ⁡ 2 α 1 - cos ⁡ β 1 + cos ⁡ β ⇒ tan 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ β - sin ⁡ 2 α + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β 1 + sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β ⇒ 1 + tan 2 ⁡ θ = 2 1 + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β 1 + sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β ⇒ 1 - tan 2 ⁡ θ = 2 sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β 1 + sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β Now, cos ⁡ 2 θ = 1 - tan 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ = sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β 1 + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β ⇒ 2 θ = cos - 1 ⁡ sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β 1 + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β ⇒ 2 tan - 1 ⁡ 45 ° - α tan ⁡ 1 2 β = cos - 1 ⁡ sin ⁡ 2 α + cos ⁡ β 1 + sin ⁡ 2 α cos ⁡ β = R.H.S.

Prove that 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ α 2 tan ⁡ π 4 - β 2 = tan - 1 sin ⁡ α cos ⁡ β sin ⁡ β cos ⁡ α .

We have, L.H.S. = 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ α 2 tan ⁡ π 4 - β 2 Let tan - 1 ⁡ tan ⁡ α 2 tan ⁡ π 4 - β 2 = θ ⇒ tan ⁡ θ = tan ⁡ α 2 tan ⁡ π 4 - β 2 ∴ tan A - B = tan A - tan B 1 + tan A tan B = 1 - cos ⁡ α sin ⁡ α . tan ⁡ π 4 - tan ⁡ β 2 1 + tan ⁡ π 4 . tan ⁡ β 2 = 1 - cos ⁡ α sin ⁡ α . cos ⁡ β 2 - sin ⁡ β 2 cos ⁡ β 2 + sin ⁡ β 2 = 1 - cos ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ β 1 + sin ⁡ β tan 2 ⁡ θ = 2 tan ⁡ θ 1 - tan 2 ⁡ θ = 2 1 - cos ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ β 1 + sin ⁡ β 1 - 1 - cos ⁡ α sin ⁡ α . cos ⁡ β 1 + sin ⁡ β 2 = 2 ( 1 - cos ⁡ α ) cos ⁡ β sin ⁡ α ( 1 + sin ⁡ β ) sin 2 ⁡ α 1 + sin ⁡ β 2 - 1 - cos ⁡ α 2 cos 2 ⁡ β = 2 sin ⁡ α cos ⁡ β ( 1 - cos ⁡ α ) ( 1 + sin ⁡ β ) ( 1 - cos ⁡ α ) ( 1 + sin ⁡ β ) ( 1 + cos ⁡ α ) ( 1 + sin ⁡ β ) - ( 1 - cos ⁡ α ) 1 - cos ⁡ α 1 - sin ⁡ β ( 1 + sin ⁡ β ) ⇒ tan ⁡ 2 θ = sin ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α sin ⁡ β ⇒ 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ 1 2 α tan ⁡ 1 4 π - 1 2 β = tan - 1 ⁡ sin ⁡ α cos ⁡ β sin ⁡ β cos ⁡ α = RHS

Show that cos - 1 ⁡ a - x a - b = sin - 1 ⁡ x - b a - b = cot - 1 ⁡ a - x x - b = 1 2 sin - 1 ⁡ 2 a - x x - b a - b .

Let cos - 1 ⁡ a - x a - b = θ , where θ ∈ 0 , π 2 … i ⇒ cos θ = a - x a - b ∵ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ sin θ = ± 1 - cos 2 θ ⇒ sin θ = ± x - b a - b ⇒ sin θ = x - b a - b , θ ∈ 0 , π 2 ⇒ θ = sin - 1 x - b a - b … ii ∵ cot θ = cos θ sin θ ⇒ cot θ = a - x x - b ⇒ θ = cot - 1 a - x x - b … i i i Now, sin 2 θ = 2 sin θ cos θ ⇒ sin 2 θ = 2 a - x x - b a - b ⇒ θ = 1 2 sin - 1 2 a - x x - b a - b … i v From equations i , i i , i i i & i v , we get the required proof.

If cos - 1 ⁡ x a + cos - 1 ⁡ y b = α , prove that x 2 a 2 - 2 x y a b cos ⁡ α + y 2 b 2 = sin 2 ⁡ α .

We have cos - 1 x a = α - cos - 1 y b ⇒ x a = cos α - cos - 1 y b ∵ cos A - B = cos A cos B + sin A sin B ⇒ x a = cos α cos cos - 1 y b + sin α sin cos - 1 y b Let cos - 1 y b = θ ⇒ cos θ = y b ⇒ sin θ = ± 1 - y b 2 ∵ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ θ = sin - 1 ± 1 - y b 2 Now, x a = cos α cos cos - 1 y b + sin α sin sin - 1 ± 1 - y 2 b 2 ⇒ x a = cos α · y b + sin α ± 1 - y 2 b 2 ⇒ x a - cos α · y b = ± sin α 1 - y 2 b 2 Squaring both sides, we get x 2 a 2 + y 2 b 2 cos 2 α - 2 x y a b cos α = sin 2 α 1 - y 2 b 2 . ⇒ x 2 a 2 - 2 x y a b cos α + y 2 b 2 cos 2 α + sin 2 α = sin 2 α ⇒ x 2 a 2 - 2 x y a b cos α + y 2 b 2 = sin 2 α

Solve the equation tan - 1 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 1 + x 2 + 1 - x 2 = β .

Given equation tan - 1 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 1 + x 2 + 1 - x 2 = β ⇒ 1 + x 2 - 1 - x 2 1 + x 2 + 1 - x 2 = tan ⁡ β Applying componendo and dividendo, we have 1 + x 2 1 - x 2 = 1 + tan ⁡ β 1 - tan ⁡ β = 1 + sin ⁡ β cos ⁡ β 1 - sin ⁡ β cos ⁡ β = cos ⁡ β + sin ⁡ β cos ⁡ β - sin ⁡ β Squaring both sides, we have 1 + x 2 1 - x 2 = cos ⁡ β + sin ⁡ β cos ⁡ β - sin ⁡ β 2 = 1 + sin ⁡ 2 β 1 - sin ⁡ 2 β Again applying componendo and dividendo, we have 2 x 2 2 = 2 sin ⁡ 2 β 2 ⇒ x 2 = sin ⁡ 2 β Hence, x = ± sin ⁡ 2 β .