Solve: sin - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 3 2 .

Given that, sin - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 3 2 Therefore, π 2 - cos - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 3 2 ⇒ π 2 - cos - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 cos π 6 ⇒ π 2 - 2 cos - 1 x = π 6 ⇒ π 2 - π 6 = 2 cos - 1 x ⇒ π 3 = 2 cos - 1 x ⇒ cos - 1 x = π 6 ⇒ x = cos π 6 ⇒ x = 3 2 Thus, the required solution x = 3 2 .

Solve: sin - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 3 2 .

Given that, sin - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 3 2 Therefore, π 2 - cos - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 3 2 ⇒ π 2 - cos - 1 x - cos - 1 x = cos - 1 cos π 6 ⇒ π 2 - 2 cos - 1 x = π 6 ⇒ π 2 - π 6 = 2 cos - 1 x ⇒ π 3 = 2 cos - 1 x ⇒ cos - 1 x = π 6 ⇒ x = cos π 6 ⇒ x = 3 2 Thus, the required solution x = 3 2 .

Solve: sin - 1 2 x + sin - 1 x = π 3 .

Given that, sin - 1 2 x + sin - 1 x = π 3 Therefore, sin - 1 ( 2 x ) = π 3 - sin - 1 ( x ) ⇒ 2 x = sin π 3 - sin - 1 ( x ) ⇒ 2 x = sin π 3 cos sin - 1 ( x ) - cos π 3 sin sin - 1 ( x ) [Using sin A - B = sin A cos B - cos A sin B ] ⇒ 2 x = 3 2 cos cos - 1 1 - x 2 - 1 2 ( x ) ⇒ 2 x + x 2 = 3 2 1 - x 2 ⇒ 5 x = 3 1 - x 2 ⇒ ( 5 x ) 2 = 3 1 - x 2 2 ⇒ 25 x 2 = 3 - 3 x 2 ⇒ 28 x 2 = 3 ⇒ x = ± 3 28 ⇒ x = ± 1 2 3 7 Since, only positive value of x satisfy the original equation. Thus, the required solution x = 1 2 3 7 .

Find the value of sin - 1 4 5 + sin - 1 12 13 + sin - 1 33 65 .

Given that, sin - 1 4 5 + sin - 1 12 13 + sin - 1 33 65 = sin - 1 4 5 1 - 144 169 + 12 13 1 - 16 25 + sin - 1 33 65 = sin - 1 4 5 × 5 13 + 12 13 × 3 5 + sin - 1 33 65 = sin - 1 56 65 + cos - 1 1 - 33 65 2 = sin - 1 56 65 + cos - 1 4225 - 1089 4225 = sin - 1 56 65 + cos - 1 3136 4225 = sin - 1 56 65 + cos - 1 56 65 = π 2 [Using sin - 1 x + cos - 1 x = π 2 ; x ∈ [ - 1 , 1 ] ] Thus, sin - 1 4 5 + sin - 1 12 13 + sin - 1 33 65 = π 2 .

Prove that: cos - 1 b + a cos x a + b cos x = 2 tan - 1 a - b a + b tan x 2 .

To prove: cos - 1 b + a cos x a + b cos x = 2 tan - 1 a - b a + b tan x 2 Consider RHS, 2 tan - 1 a - b a + b tan x 2 Put a - b a + b tan x 2 = θ Therefore, 2 tan - 1 a - b a + b tan x 2 = 2 tan - 1 θ = cos - 1 1 - θ 2 1 + θ 2 = cos - 1 1 - a - b a + b · tan 2 x 2 1 + a - b a + b · tan 2 x 2 = cos - 1 a + b - a tan 2 x 2 + b tan 2 x 2 a + b a + b + a tan 2 x 2 - b tan 2 x 2 a + b = cos - 1 a + b - a tan 2 x 2 + b tan 2 x 2 a + b + a tan 2 x 2 - b tan 2 x 2 = cos - 1 a 1 - tan 2 x 2 + b 1 + tan 2 x 2 a 1 + tan 2 x 2 + b 1 - tan 2 x 2 = cos - 1 a 1 - tan 2 x 2 1 + tan 2 x 2 + b a + b 1 - tan 2 x 2 1 + tan 2 x 2 = cos - 1 a cos x + b a + b cos x [Using cos x = 1 - tan 2 x 2 1 + tan 2 x 2 ] = LHS Hence, proved.

Prove that: tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b = 2 b a .

To prove: tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b = 2 b a Consider LHS, tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b Put 1 2 cos - 1 a b = θ ⇒ cos 2 θ = a b → 1 Therefore, tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b = tan π 4 + θ + tan π 4 - θ = tan π 4 + tan θ 1 - tan π 4 × tan θ + tan π 4 - tan θ 1 + tan π 4 × tan θ = 1 + tan θ 1 - tan θ + 1 - tan θ 1 + tan θ = 1 + tan θ 2 + 1 - tan θ 2 1 - tan 2 θ = 1 + tan 2 θ + 2 tan θ + 1 + tan 2 θ - 2 tan θ 1 - tan 2 θ = 2 + 2 tan 2 θ 1 - tan 2 θ = 2 1 + tan 2 θ 1 - tan 2 θ = 2 cos 2 θ [Using cos 2 x = 1 - tan 2 x 1 + tan 2 x ] = 2 a b [Using 1 ] = 2 b a = RHS Hence, proved.

Prove that: tan - 1 x r y z + tan - 1 y r z x + tan - 1 z r x y = π , where r = x + y + z .

To prove: tan - 1 x r y z + tan - 1 y r z x + tan - 1 z r x y = π , where r = x + y + z Consider LHS, tan - 1 x r y z + tan - 1 y r z x + tan - 1 z r x y = π + tan - 1 x r y z + y r z x 1 - x r y z × y r z x + tan - 1 z r x y [Since tan - 1 x + tan - 1 y = π + tan - 1 x + y 1 - x y ; x > 0 , y > 0 , x y > 1 as x r y z y r z x > 1 ⇒ r z > 1 ⇒ x + y + z z > 1 ] = π + tan - 1 x r z x + y z y r y z z x y z z x - x r y r y z z x + tan - 1 z r x y = π + tan - 1 x r z x + y z y r y z z x - x r y r + tan - 1 z r x y = π + tan - 1 x r z + y r z z x y - r x y + tan - 1 z r x y = π + tan - 1 r z x + y x y z - r + tan - 1 z r x y = π + tan - 1 r z r - z x y z - r + tan - 1 z r x y = π + tan - 1 - r z x y + tan - 1 z r x y = π - tan - 1 r z x y + tan - 1 z r x y = π = RHS Hence, proved.

If cos - 1 x a + cos - 1 y b = θ , then prove that x 2 a 2 - 2 x y a b cos θ + y 2 b 2 = sin 2 θ .

Given that, cos - 1 x a + cos - 1 y b = θ and To prove: x 2 a 2 - 2 x y a b cos θ + y 2 b 2 = sin 2 θ Consider, cos - 1 x a + cos - 1 y b = θ ⇒ cos - 1 x a × y b - 1 - x a 2 1 - y b 2 = θ [Since cos - 1 x + cos - 1 y = cos - 1 x y - 1 - x 2 1 - y 2 ] ⇒ x a × y b - 1 - x a 2 1 - y b 2 = cos θ ⇒ x y a b - 1 - x 2 a 2 1 - y 2 b 2 = cos θ ⇒ x y a b - cos θ = 1 - x 2 a 2 1 - y 2 b 2 ⇒ x y a b - cos θ 2 = 1 - x 2 a 2 1 - y 2 b 2 2 ⇒ x y a b 2 + cos 2 θ - 2 x y a b cos θ = 1 - x 2 a 2 1 - y 2 b 2 ⇒ x y a b 2 + cos 2 θ - 2 x y a b cos θ = 1 - y 2 b 2 - x 2 a 2 + x y a b 2 ⇒ y 2 b 2 + x 2 a 2 - 2 x y a b cos θ = 1 - cos 2 θ ⇒ y 2 b 2 + x 2 a 2 - 2 x y a b cos θ = sin 2 θ ∵ cos 2 x + sin 2 x = 1 , x ∈ R Hence, proved.

If cos - 1 x 2 + cos - 1 y 3 = θ , then prove that 9 x 2 - 12 x y cos θ + 4 y 2 = 36 sin 2 θ .

Given that, cos - 1 x 2 + cos - 1 y 3 = θ and To prove: 9 x 2 - 12 x y cos θ + 4 y 2 = 36 sin 2 θ Consider, cos - 1 x 2 + cos - 1 y 3 = θ ⇒ cos - 1 x 2 × y 3 - 1 - x 2 2 1 - y 3 2 = θ [Since cos - 1 x + cos - 1 y = cos - 1 x y - 1 - x 2 1 - y 2 ] ⇒ x 2 × y 3 - 1 - x 2 2 1 - y 3 2 = cos θ ⇒ x y 6 - 1 - x 2 2 2 1 - y 2 3 2 = cos θ ⇒ x y 6 - cos θ = 1 - x 2 4 1 - y 2 9 ⇒ x y 6 - cos θ 2 = 1 - x 2 4 1 - y 2 9 2 ⇒ x y 6 2 + cos 2 θ - 2 x y 6 cos θ = 1 - x 2 4 1 - y 2 9 ⇒ x y 6 2 + cos 2 θ - x y 3 cos θ = 1 - y 2 9 - x 2 4 + x y 6 2 ⇒ y 2 9 + x 2 4 - x y 3 cos θ = 1 - cos 2 θ ⇒ y 2 9 + x 2 4 - x y 3 cos θ = sin 2 θ ∵ cos 2 x + sin 2 x = 1 , x ∈ R ⇒ 9 x 2 - 12 x y cos θ + 4 y 2 = 36 sin 2 θ [Multiplied both sides with 36 ] Hence, proved.

If sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b , then prove that b 2 x 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 + a 2 y 2 = c 4 .

Given that, sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b and To prove: b 2 x 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 + a 2 y 2 = c 4 Consider, sin - 1 x a + sin - 1 y b = sin - 1 c 2 a b ⇒ sin - 1 x a = sin - 1 c 2 a b - sin - 1 y b ⇒ x a = sin sin - 1 c 2 a b - sin - 1 y b ⇒ x a = sin sin - 1 c 2 a b cos sin - 1 y b - cos sin - 1 c a b sin sin - 1 y b [Using sin A - B = sin A cos B - cos A sin B ] ⇒ x a = c 2 a b cos cos - 1 1 - y 2 b 2 - cos cos - 1 1 - c 4 a 2 b 2 · y b [Using sin - 1 sin x = x ; x ∈ - π 2 , π 2 and sin - 1 x = cos - 1 1 - x 2 ] ⇒ x a = c 2 a b · 1 - y 2 b 2 - 1 - c 4 a 2 b 2 · y b ⇒ x a + y b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 2 a b 1 - y 2 b 2 ⇒ x a + y b 1 - c 4 a 2 b 2 2 = c 2 a b 1 - y 2 b 2 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 1 - c 4 a 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 1 - y 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 - y 2 b 2 · c 4 a 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 - c 4 a 2 b 2 · y 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 + 2 x y a b 1 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 ⇒ x 2 a 2 + y 2 b 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 a 2 b 2 = c 4 a 2 b 2 ⇒ b 2 x 2 + a 2 y 2 + 2 x y a 2 b 2 - c 4 = c 4 [Multiplied both sides with a 2 b 2 ] Hence, proved.