Find d y d x where y = 2 x + 2 - e x + 5 + 6 · x 2 3 - 3 log x

We have y = 2 x + 2 - e x + 5 + 6 · x 2 3 - 3 log x Differentiate both sides w.r.t x , we get: d y d x = d 2 x + 2 - e x + 5 + 6 · x 2 3 - 3 log x d x ⇒ d y d x = 2 x + 2 × log 2 - e x + 5 × d x + 5 d x + 6 × 2 3 x - 1 3 - 3 × 1 x ⇒ d y d x = 2 x + 2 × log 2 - e x + 5 + 4 x - 1 3 - 3 x

Find d y d x where y = x e x + e 3 x e x + e - x .

Given that y = x · e x + e 3 x e x + e - x ⇒ y = x · e x ( 1 + e 2 x ) e x ( 1 + e - 2 x ) ⇒ y = x · ( 1 + e 2 x ) e - 2 x ( e 2 x + 1 ) = x e - 2 x . . . ( 1 ) Differentiating ( 1 ) w.r.t. x , we get d y d x = d d x ( x e - 2 x ) ⇒ d y d x = e - 2 x d d x x - x d d x ( e - 2 x ) ( e - 2 x ) 2 ( ∵ d d x u v = v d u d x - u d v d x v 2 ) ⇒ d y d x = [ e - 2 x × 1 ] - [ x × e - 2 x × ( - 2 ) ] e - 4 x ⇒ d y d x = e - 2 x ( 1 + 2 x e - 4 x ) ⇒ d y d x = e 2 x ( 1 + 2 x )

Find d y d x where y = log 10 ⁡ x + 10 x + x 10 + e log ⁡ x .

We have: y = log 10 ⁡ x + 10 x + x 10 + e log ⁡ x ⇒ y = log x log 10 + 10 x + x 10 + x ∵ e log A = A , log m n = log n log m Differentiate both sides w.r.t x , we get: d y d x = d log ⁡ x log ⁡ 10 + 10 x + x 10 + x d x ⇒ d y d x = d log ⁡ x log ⁡ 10 d x + d 10 x d x + d x 10 d x + d x d x ⇒ d y d x = 1 log 10 × 1 x + 10 x × log 10 + 10 x 9 + 1 ⇒ d y d x = 1 x log 10 + 10 x × log 10 + 10 x 9 + 1 ⇒ d y d x = log e x log 10 + 10 x log e 10 + 10 x 9 + 1 ⇒ d y d x = log 10 e x + 10 x log e 10 + 10 x 9 + 1