The differential equation of the family of curves v = A r + B , where A and B are arbitrary constants, is

d 2 v d r 2 + 2 r · d v d r = 0

d 2 v d r 2 + 1 r · d v d r = 0

d 2 v d r 2 - 2 r · d v d r = 0

d 2 v d r 2 - 1 r · d v d r = 0

Solve the differential equation ( x d y - y d x ) y sin y x = ( y d x + x d y ) x cos y x .

Given, ( x d y - y d x ) y sin y x = ( y d x + x d y ) x cos y x ⇒ x y sin y x d y - y 2 sin y x d x = x y cos y x d x + x 2 cos y x d y ⇒ x y sin y x - x 2 cos y x d y = x y cos y x + y 2 sin y x d x ⇒ d y d x = x y cos y x + y 2 sin y x x y sin y x - x 2 cos y x ⇒ d y d x = y x cos y x + y x 2 cos y x y x sin y x - cos y x ⇒ y = v x ⇒ d y d x = x d v d x + v ⇒ v + xdv dx = vx x cos vx x + v 2 x 2 x 2 sin vx x vx x sin vx x - cos vx x ⇒ x dv dx = vcosv + v 2 sinv vsinv - cosv - v ⇒ x dv dx = vcosv + v 2 sinv - v 2 sinv + vcosv vsinv - cosv ⇒ xdv dx = 2 vcosv vsinv - cosv ⇒ vsinv - cosv vcosv dv = 2 dx x ⇒ vsinv vcosv - cosv vcosv dv = 2 dx x ⇒ tanv - 1 v dv = 2 dx x ⇒ ∫ tanv - 1 v dv = 2 ∫ dx x ⇒ ∫ tanvdv - ∫ dv v = 2 ∫ dx x ⇒ log | secv | - log | v | = 2 log | x | + logC ⇒ log secv v = logx 2 + logC ⇒ log secv v = logx 2 c ⇒ secv v = x 2 c ⇒ sec y x y x = x 2 c ⇒ sec y x = y x x 2 c ⇒ sec y x = Cxy is the required differential equation.