For the sets U = { 1 , 2 , 3 , … , 10 } , A = { 1 , 2 , 5 , 6 } , B = { 6 , 7 } verify that A - B = A ∩ B ' = B ' - A '

Given U = { 1 , 2 , 3 , … , 10 } , A = { 1 , 2 , 5 , 6 } , B = { 6 , 7 } A - B = { 1 , 2 , 5 } B ' = U - B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 } A ' = U - A = { 3 , 4 , 7 , 8 , 9 , 10 } A ∩ B ' = { 1 , 2 , 5 } and B ' - A ' = { 1 , 2 , 5 } Clearly, we can see A - B = A ∩ B ' = B ' - A ' . Hence Proved

If A = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } , B = { 4 , 5 , 9 } and C = { 1 , 4 , 6 , 9 } , verify that ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

Given A = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } , B = { 4 , 5 , 9 } and C = { 1 , 4 , 6 , 9 } ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) L H S = ( A ∩ B ) ∩ C = ( { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∩ { 4 , 5 , 9 } ) ∩ { 1 , 4 , 6 , 9 } = { 4 , 5 } ∩ { 1 , 4 , 6 , 9 } = { 4 } R H S = A ∩ ( B ∩ C ) = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∩ ( { 4 , 5 , 9 } ∩ { 1 , 4 , 6 , 9 } ) = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∩ { 4 , 9 } = { 4 } Hence, L H S = R H S

If A = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } , B = { 4 , 5 , 9 } and C = { 1 , 4 , 6 , 9 } , verified that A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) .

To verify, A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) L H S = A ∪ ( B ∩ C ) = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∪ { 4 , 5 , 9 } ∩ { 1 , 4 , 6 , 9 } = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∪ { 4 , 9 } = { 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 } R H S = A ∪ B ∩ ( A ∪ C ) = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∪ { 4 , 5 , 9 } ∩ { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∪ { 1 , 4 , 6 , 9 } = { 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 } ∩ { 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } = { 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 } Hence, RHS = LHS