Find d y d x in the following case x 2 3 + y 2 3 = a 2 3

We have, x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 Differentiating it with respect to x , we get, d d x x 2 3 + d d x y 2 3 = d d x a 2 3 ⇒ 2 3 x 2 3 - 1 + 2 3 y 2 3 - 1 d y d x = 0 ⇒ 2 3 x - 1 3 + 2 3 y - 1 3 d y d x = 0 ⇒ 2 3 y - 1 3 d y d x = - 2 3 x - 1 3 ⇒ d y d x = - 2 3 x - 1 3 × 3 2 y - 1 3 ⇒ d y d x = - x - 1 3 y - 1 3 ⇒ d y d x = - y 1 3 x 1 3 ⇒ d y d x = - y x 1 3

Find d y d x , when y = sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x

We have, y = sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x . . . i Taking log on both sides log y = log sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x ⇒ log y = logsin x + logsin 2 x + logsin 3 x + logsin 4 x Differentiating with respect to x using chain rule, 1 y d y d x = d d x logsin x + d d x logsin 2 x + d d x logsin 3 x + d d x logsin 4 x ⇒ 1 y d y d x = 1 sin x d d x sin x + 1 sin 2 x d d x sin 2 x + 1 sin 3 x d d x sin 3 x + 1 sin 4 x d d x sin 4 x ⇒ 1 y d y d x = 1 sin x cos x + 1 sin 2 x cos 2 x d d x 2 x + 1 sin 3 x cos 3 x d d x 3 x + 1 sin 4 x cos 4 x d d x 4 x ⇒ 1 y d y d x = cot x + cot 2 x 2 + cot 3 x 3 + cot 4 x 4 ⇒ d y d x = y cot x + 2 cot 2 x + 3 cot 3 x + 4 cot 4 x ⇒ d y d x = sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cot x + 2 cot 2 x + 3 cot 3 x + 4 cot 4 x [Using equation i ]

Find d y d x in the following case x 2 + y 2 2 = x y ?

We have, x 2 + y 2 2 = x y Differentiating with respect to x , we get, ⇒ d d x x 2 + y 2 2 = d d x x y ⇒ 2 x 2 + y 2 d d x x 2 + y 2 = x d y d x + y d d x x ⇒ 2 x 2 + y 2 2 x + 2 y d y d x = x d y d x + y 1 ⇒ 4 x x 2 + y 2 + 4 y x 2 + y 2 d y d x = x d y d x + y ⇒ 4 y x 2 + y 2 d y d x - x d y d x = y - 4 x x 2 + y 2 ⇒ d y d x 4 y x 2 + y 2 - x = y - 4 x x 2 + y 2 ⇒ d y d x = y - 4 x x 2 + y 2 4 y x 2 + y 2 - x ⇒ d y d x = 4 x x 2 + y 2 - y x - 4 y x 2 + y 2

Find d y d x in the following case x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ?

We have, x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Differentiating with respect to x , we get, d d x x 2 a 2 + y 2 b 2 = d d x 1 ⇒ d d x x 2 a 2 + d d x y 2 b 2 = 0 ⇒ 1 a 2 2 x + 1 b 2 2 y d y d x = 0 ⇒ 2 y b 2 d y d x = - 2 x a 2 ⇒ d y d x = - 2 x a 2 b 2 2 y ⇒ d y d x = - b 2 x a 2 y

Find d y d x in the following case tan - 1 x 2 + y 2 = a ?

We have. tan - 1 x 2 + y 2 = a Differentiate with respect to x , we get, d d x tan - 1 x 2 + y 2 = d d x a ⇒ 1 1 + x 2 + y 2 2 × d d x x 2 + y 2 = 0 ⇒ 1 1 + x 2 + y 2 2 2 x + 2 y d y d x = 0 ⇒ 2 x + 2 y d y d x = 0 ⇒ x + y d y d x = 0 ⇒ d y d x = - x y

If x = 3 sin t - sin 3 t , y = 3 cos t - cos 3 t find d y d x at t = π 3 ?

Given that x = 3 sin t - sin 3 t and y = 3 cos t - cos 3 t ⇒ d x d t = 3 cos t - 3 cos 3 t and d y d t = - 3 sin t + 3 sin 3 t ∴ d y d x = d y d t d x d t = - 3 sin t + 3 sin 3 t 3 cos t - 3 cos 3 t ⇒ d y d x t = π 3 = - 3 sin π 3 + 3 sin π 3 cos π 3 - 3 cos π = - 3 × 3 2 + 0 3 × 1 2 + 3 = - 3 3 2 9 2 = - 1 3

Find d y d x in the following case: y 3 - 3 x y 2 = x 3 + 3 x 2 y ?

We have, y 3 - 3 x y 2 = x 3 + 3 x 2 y Differentiating with respect to x , we get, ⇒ d d x y 3 - d d x 3 x y 2 = d d x x 3 + d d x 3 x 2 y ⇒ 3 y 2 d y d x - 3 x d d x y 2 + y 2 d d x x = 3 x 2 + 3 x 2 d d x y + y d d x x 2 [Using product rule] ⇒ 3 y 2 d y d x - 3 x 2 y d y d x + y 2 = 3 x 2 + 3 x 2 d y d x + y 2 x ⇒ 3 y 2 d y d x - 6 x y d y d x - 3 y 2 = 3 x 2 + 3 x 2 d y d x + 6 x y ⇒ 3 y 2 d y d x - 6 x y d y d x - 3 x 2 d y d x = 3 x 2 + 6 x y + 3 y 2 ⇒ 3 d y d x y 2 - 2 x y - x 2 = 3 x 2 + 2 x y + y 2 ⇒ d y d x = 3 x + y 2 3 y 2 - 2 x y - x 2 ⇒ d y d x = x + y 2 y 2 - 2 x y - x 2

If x y = 4 , prove that x d y d x + y 2 = 3 y

We have, x y = 4 ⇒ y = 4 x Differentiate it with respect to x , d y d x = d d x 4 x ⇒ d y d x = 4 d d x x - 1 ⇒ d y d x = 4 - 1 × x - 1 - 1 ⇒ d y d x = 4 - 1 x 2 ⇒ d y d x = - 4 x 2 ⇒ d y d x = - 4 4 y 2 ∵ x = 4 y ⇒ d y d x = - 4 y 2 16 ⇒ d y d x = - y 2 4 ⇒ 4 d y d x = - y 2 ⇒ 4 d y d x = 3 y 2 - 4 y 2 ⇒ 4 d y d x + 4 y 2 = 3 y 2 ⇒ 4 d y d x + y 2 = 3 y 2 Dividing both side by x , ⇒ 4 x d y d x + y 2 = 3 y 2 x ⇒ y d y d x + y 2 = 3 y 2 x ⇒ x d y d x + y 2 = 3 y 2 y ⇒ x d y d x + y 2 = 3 y