Find the value of the tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 , | x | < 1 , y > 0 and x y < 1 , x ≠ y .

Given that, we have; tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 , | x | < 1 , y > 0 and x y < 1 , x ≠ y Let x = tanθ , Then θ = tan - 1 x . ∴ sin − 1 2 x 1 + x 2 = sin − 1 2 tan θ 1 + tan 2 θ = sin − 1 ( sin 2 θ ) = 2 θ = 2 tan − 1 x Let y = tan ϕ . Then ϕ = tan - 1 y ∴ cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 = cos − 1 1 − tan 2 ϕ 1 + tan 2 ϕ = cos − 1 ( cos 2 ϕ ) = 2 ϕ = 2 tan − 1 y ∴ tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 = tan 1 2 [ 2 tan − 1 x + 2 tan − 1 y ] = tan [ tan − 1 x + tan − 1 y ] = tan tan − 1 x + y 1 − x y = x + y 1 - x y Hence, tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 = x + y 1 - x y .

Prove that tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b = 2 b a .

To prove: tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b = 2 b a Consider L . H . S . = tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b Put 1 2 cos - 1 a b = θ ⇒ cos 2 θ = a b . . . . . i Therefore, tan π 4 + 1 2 cos - 1 a b + tan π 4 - 1 2 cos - 1 a b = tan π 4 + θ + tan π 4 - θ = tan π 4 + tan θ 1 - tan π 4 × tan θ + tan π 4 - tan θ 1 + tan π 4 × tan θ = 1 + tan θ 1 - tan θ + 1 - tan θ 1 + tan θ = 1 + tan θ 2 + 1 - tan θ 2 1 - tan 2 θ = 1 + tan 2 θ + 2 tan θ + 1 + tan 2 θ - 2 tan θ 1 - tan 2 θ = 2 + 2 tan 2 θ 1 - tan 2 θ = 2 1 + tan 2 θ 1 - tan 2 θ = 2 cos 2 θ [Using cos 2 x = 1 - tan 2 x 1 + tan 2 x ] = 2 a b [Using i equation] = 2 b a = R . H . S . Hence, proved.

Find the value of the tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 , | x | < 1 , y > 0 and x y < 1 , x ≠ y .

Given that, we have; tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 , | x | < 1 , y > 0 and x y < 1 , x ≠ y Let x = tanθ , Then θ = tan - 1 x . ∴ sin − 1 2 x 1 + x 2 = sin − 1 2 tan θ 1 + tan 2 θ = sin − 1 ( sin 2 θ ) = 2 θ = 2 tan − 1 x Let y = tan ϕ . Then ϕ = tan - 1 y ∴ cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 = cos − 1 1 − tan 2 ϕ 1 + tan 2 ϕ = cos − 1 ( cos 2 ϕ ) = 2 ϕ = 2 tan − 1 y ∴ tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 = tan 1 2 [ 2 tan − 1 x + 2 tan − 1 y ] = tan [ tan − 1 x + tan − 1 y ] = tan tan − 1 x + y 1 − x y = x + y 1 - x y Hence, tan 1 2 sin − 1 2 x 1 + x 2 + cos − 1 1 − y 2 1 + y 2 = x + y 1 - x y .

E M B I B E

EMBIBE CHAPTER WISE PREVIOUS YEAR PAPERS FOR MATHEMATICS>Chapter 2 - Inverse Trigonometric Functions>Gujarat Board-2020>Q 12

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Which of the following is a graph of $f (x) = \tan^{- 1} x, (x \in R)$ ?

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Important Questions on Inverse Trigonometric Functions

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EMBIBE CHAPTER WISE PREVIOUS YEAR PAPERS FOR MATHEMATICS>Chapter 2 - Inverse Trigonometric Functions>Gujarat Board-2020>Q 13

The value of $\sec^{- 1} x + {cosec}^{- 1} x + \cos^{- 1} (x^{- 1}) + \sin^{- 1} (x^{- 1})$ is (where $| x | \geq 1, x \in R$ )

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EMBIBE CHAPTER WISE PREVIOUS YEAR PAPERS FOR MATHEMATICS>Chapter 2 - Inverse Trigonometric Functions>Gujarat Board-2020>Q 14

$\cot \{\frac{2019 π}{2} - ({cosec}^{- 1} (\frac{5}{3}) + \tan^{- 1} (\frac{2}{3}))\} =$

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EMBIBE CHAPTER WISE PREVIOUS YEAR PAPERS FOR MATHEMATICS>Chapter 2 - Inverse Trigonometric Functions>Gujarat Board-2020>Q 15

Find the value of the $\tan \frac{1}{2} \{\sin^{- 1} (\frac{2 x}{1 + x^{2}}) + \cos^{- 1} (\frac{1 - y^{2}}{1 + y^{2}})\}, | x | < 1, y > 0 and x y < 1, x \neq y$ .