Diagonals $\mathrm{A}\mathrm{C}$ and $\mathrm{B}\mathrm{D}$ of a trapezium $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ with $\mathrm{A}\mathrm{B}\parallel \mathrm{D}\mathrm{C}$ intersect each other at $\mathrm{O}.$ Prove that $\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{D}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{B}\mathrm{O}\mathrm{C}\right)$.

In the given figure, $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}$ is a pentagon. A line through $\mathrm{B}$ parallel to $\mathrm{A}\mathrm{C}$ meets $\mathrm{D}\mathrm{C}$ produced at $\mathrm{F}.$ Show that $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\right)$.

In the given figure, $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}$ is a pentagon. A line through $\mathrm{B}$ parallel to $\mathrm{A}\mathrm{C}$ meets $\mathrm{D}\mathrm{C}$ produced at $\mathrm{F}.$ Show that
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{F}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\right)$.

$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is a trapezium with $\mathrm{A}\mathrm{B}\parallel \mathrm{D}\mathrm{C}.$ A line parallel to $\mathrm{A}\mathrm{C}$ intersects $\mathrm{A}\mathrm{B}$ at $\mathrm{X}$ and $\mathrm{B}\mathrm{C}$ at $\mathrm{Y}.$ Prove that $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{X}\right)=\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{Y}\right).$

In the given figure, $\mathrm{A}\mathrm{P}\parallel \mathrm{B}\mathrm{Q}\parallel \mathrm{C}\mathrm{R}.$ Prove that $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{C}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{R}\right).$

Diagonals $\mathrm{A}\mathrm{C}$ and $\mathrm{B}\mathrm{D}$ of a quadrilateral $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ intersect at $\mathrm{O}$ in such a way that $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{D}\right)=\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{B}\mathrm{O}\mathrm{C}\right).$ Prove that $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is a trapezium.

In the given figure, $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{D}\mathrm{R}\mathrm{C}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{D}\mathrm{P}\mathrm{C}\right)$ and $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{P}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{}\left(\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{C}\right).$ Show that both the quadrilaterals $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ and $\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{R}$ are trapeziums.

Parallelogram $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ and rectangle $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}$ are on the same base $\mathrm{A}\mathrm{B}$ and have equal areas. Show that the perimeter of the parallelogram is greater than that of the rectangle.